Teorema de Cantor

Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor possui fundamental importância.

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

Enunciado

Seja $\left\{F_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, $F_{n+1}\subseteq F_{n}$. Assuma, ainda, que ${\mbox{diam}}(F_{n})\to 0$, ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

${\mbox{diam(F)}}=\sup _{x,y\in F}d(x,y)$

Então a intersecção $\bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}$ é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

Demonstração

Como cada $F_{n}$ é não-vazio, podemos escolher um ponto $x_{n}$ pertencente a ele:

$x_{n}\in F_{n}$

Como $x_{n+k}\in F_{n+k}\subseteq F_{n}$, temos que toda a seqüência $\{x_{j}\}_{j=n}^{\infty }$ está contida em $F_{n}\,$.

Mas $\{x_{j}\}_{j=n}^{\infty }$ é uma Sucessão de Cauchy, pois:

${\mbox{d}}(x_{n},x_{n+k})\leq {\mbox{diam}}(F_{n})\to 0$, pois $x_{n},x_{n+k}\in F_{n}$.

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite $x$ tal que:

$x_{n}\to x$

Como os conjuntos $F_{n}$ são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

$x\in F_{n},\forall n$

Assim $x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}$.

Para provar que $x\,$ é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

$x,y\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}$, com $x\neq y\,$

O fato que $x\neq y\,$ implica $d(x,y)>0\,$

Escolha $N\,$ tal que:

${\mbox{diam}}(F_{n})<d(x,y)\,$

Da definição de diâmetro e do fato que $x,y\in F_{n}$, deve valer:

$d(x,y)\leq {\mbox{diam}}(F_{n})<d(x,y)$, um absurdo.

Aplicações

• É utilizado na demonstração do teorema da categoria de Baire.