Teorema de Menelaus

O teorema de Menelaus é útil na resolução de problemas envolvendo triângulos e está relacionado com conjuntos de determinados pontos que são colineares, ou com conjuntos de segmentos que são concorrentes.

Demonstração

Considere um triângulo $ABC$ e uma reta $r$ que corte os lados $AC$, $AB$ e o prolongamento de $BC$ nos pontos $L$, $M$ e $N$, respectivamente.

Traça-se as perpendiculares que saem dos vértices do triângulo $ABC$ à reta $r$.

Façamos semelhança de triângulos.

$BPM\sim AQM$

${\frac {MA}{MB}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}$

$NRC\sim NPB$

${\frac {NB}{NC}}={\frac {h_{1}}{h_{3}}}$

$RLC\sim ALQ$

${\frac {LC}{LA}}={\frac {h_{3}}{h_{2}}}$

Multipliquemos as três equações:

${\frac {MA}{MB}}\cdot {\frac {NB}{NC}}\cdot {\frac {LC}{LA}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}\cdot {\frac {h_{1}}{h_{3}}}\cdot {\frac {h_{3}}{h_{2}}}$

Finalmente:

${\frac {MA}{MB}}\cdot {\frac {NB}{NC}}\cdot {\frac {LC}{LA}}=1$

Aplicação

No triângulo $ABC$, determine a razão ${\frac {EA}{EC}}$.

Aplicando o teorema de Menelaus, temos:

${\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1$

${\frac {4}{1}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1$

${\frac {EC}{EA}}={\frac {3}{20}}$

${\frac {EA}{EC}}={\frac {20}{3}}$

Menelau, o criador do teorema

Menelau, o criador do teorema.

Menelau nasceu em Alexandria, Egito por volta de 100 d.C foi astrônomo e geômetra, foi o primeiro a escrever a definição de triângulos esféricos, produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe e o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica. Menelau também continuou os trabalhos de Hiparco em trigonometria, mas demonstrou interessantíssimo teorema, que leva o seu nome. Ardente defensor da geometria clássica e criador do tradicional teorema de Menelau escreveram várias obras de trigonometria e geometria. Menelau morreu em lugar incerto, talvez na própria Alexandria.

Ver também

• Bissetriz
• Teorema de Ceva