Teorema de Thévenin

O teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à tensão do ponto em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à impedância do circuito vista deste ponto).

A esta configuração chamamos de Equivalente de Thévenin em homenagem a Léon Charles Thévenin, e é muito útil para reduzirmos circuitos maiores a um circuito equivalente com apenas dois elementos a partir de um determinado ponto, onde se deseja, por exemplo, saber as grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência.

Cálculo do Equivalente de Thévenin

O cálculo do Equivalente de Thévenin baseia-se no Teorema da superposição quando o circuito a ser reduzido é separado do circuito a ser estudado e as análises de circuito aberto e em curto-circuito são aplicadas para se conseguir as relações que permitam a redução desejada.

O Equivalente de Thévenin pode ser construído a partir de duas etapas:

1. Determinar a resistência ou impedância de Thévenin, também chamada de resistência ou impedância equivalente. Esta resistência (ou impedância) é aquela vista do ponto onde se deseja reduzir o circuito, e neste caso, com as fontes de tensão curto-circuitadas e as fontes de corrente abertas.

2. Determinar a tensão de circuito aberto no ponto onde se deseja reduzir o circuito.

Exemplo

No exemplo a seguir, é possível ver um circuito de corrente contínua sendo transformado pelo teorema de Thévenin no ponto A e B.

Circuito Original.

Etapa 1: Cálculo da Resistência de Thévenin.

Etapa 2: Cálculo da Tensão de Circuito Aberto.

Equivalente de Thévenin.

A resistência de Thévenin pode ser obtida pela resistência equivalente vista do ponto AB, neste caso, com a(s) fonte(s) inoperantes. Na Etapa 1, para o cálculo da resistência de Thévenin a fonte de tensão fica curto-circuitada. Se fosse uma fonte de corrente, a mesma ficaria aberta.

$R_{\mathrm {AB} }=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right)]$

$=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right)]$

$=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega$

e a tensão de circuito aberto pode ser calculada usando a seguinte abordagem:

$V_{\mathrm {AB} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }$

$={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\mathrm {V}$

$={1 \over 2}\cdot 15\mathrm {V} =7.5\mathrm {V}$

Demonstração do Teorema de Thévenin

Suponha um circuito com um número "n" de nós. Se tal for um Circuito linear, pode-se descrevê-lo como: $I=Gv$ tal que

• "$I$" é a matriz das Correntes;
• "$G$" é matriz das Condutâncias;
• "$v$" é matriz das Tensões.

${\begin{bmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{k}\\\vdots \\i_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{11}&\cdots &G_{1l}&\cdots &G_{n1}\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\G_{k1}&\cdots &G_{kl}&\cdots &G_{kn}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\G_{n1}&\cdots &G_{nl}&\cdots &G_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{k}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$

Resolvendo esse sistema para '$v_{k}$' pela Regra de Cramer, temos:

$v_{k}={det(G_{k}) \over det(G)}$ (1)

Expandindo $det(G)$ pelo Teorema de Laplace na $l$-ésima coluna:

$det(G)=G_{1l}A_{1l}+G_{2l}A_{2l}+\cdots +G_{kl}A_{kl}+\cdots +G_{nl}A_{nl}$ (2)

Arbitramos um circuito linear qualquer entre os nós "$k$" e "$l$". Consideraremos, então, ele como aberto entre esses dois nós para uma análise adequada. Ou seja: $G_{kl}=0$

Usando tal fato na igualdade (2), teremos:

$det(G_{0})=G_{1l}A_{1l}+G_{2l}A_{2l}+\cdots +G_{k-1,l}A_{k-1,l}+G_{k+1,l}A_{k+1,l}+\cdots +G_{nl}A_{nl}$

$det(G)=det(G_{0})+G_{kl}A_{kl}$ (3)

Desenvolvendo a expressão (1):

$v_{k}={i_{1}A_{1l}+i_{2}A_{2l}+\cdots +i_{k}A_{kl}+\cdots +i_{n}A_{nl} \over det(G)}$

$={\frac {i_{1}A_{1l}+i_{2}A_{2l}+\cdots +i_{k}A_{kl}+\cdots +i_{n}A_{nl}}{det(G_{0})}}{\frac {det(G_{0})}{det(G)}}$ (4)

Analisaremos a primeira fração de (4). É notável que tal representa uma solução de um sistema correspondente de um circuito similar ao primeiro, porém com o valor de $G_{kl}=0$. Ou seja, o sistema:

${\begin{bmatrix}i'_{1}\\i'_{2}\\\vdots \\i'_{k}\\\vdots \\i'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{11}&\cdots &G_{1l}&\cdots &G_{n1}\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\G_{k1}&\cdots &0&\cdots &G_{kn}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\G_{n1}&\cdots &G_{nl}&\cdots &G_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v'_{1}\\v'_{2}\\\vdots \\v'_{k}\\\vdots \\v'_{n}\end{bmatrix}}$

Apresenta como uma de suas soluções a seguinte: $v'_{k}={\frac {det(G_{k})}{det(G_{0})}}={\frac {i_{1}A_{1l}+i_{2}A_{2l}+\cdots +i_{k}A_{kl}+\cdots +i_{n}A_{nl}}{det(G_{0})}}$ (5)

Substituindo a expressão (5) em (4), resultará em:

$v_{k}=v'_{k}{\frac {det(G_{0})}{det(G)}}$

Unindo com (3):

$v_{k}=v'_{k}{\frac {det(G_{0})}{det(G_{0})+G_{kl}A_{kl}}}$

Porém, condutância é o inverso da resistência. $G={\frac {1}{R}}$

Portanto: $v_{k}=v'_{k}{\frac {1}{1+{\frac {A_{kl}}{det(G_{0})R_{kl}}}}}=v'_{k}{\frac {R_{kl}}{R_{kl}+{\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}}}$

Simplificaremos essa expressão:

$v_{k}R_{kl}+v_{k}{\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}=v'_{k}R_{kl}$

Dividindo ambos os lados por $R_{kl}$:

$v_{k}+{\frac {v_{k}}{R_{kl}}}{\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}=v'_{k}$

Ao fazer a análise dessa igualdade, nota-se que ${\frac {v_{k}}{R_{kl}}}=I$. Então:

$v_{k}=v'_{k}-{\frac {v_{k}}{R_{kl}}}{\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}=v'_{k}-I{\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}$ (6)

Analisando essa expressão, observa-se que o valor de "$v_{k}$" está em função de "$v'_{k}$" e de "${\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}$". Disso, concluímos que ${\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}$ possui uma característica resistiva. Em outras palavras, conseguimos caracterizar uma tensão qualquer entre dois pontos de um circuito linear com uma fonte de tensão juntamente com uma impedância em série, a qual é o enunciado da Equivalência de Thévenin.

Portanto, das expressões (5) e (6):

$v'_{k}=v_{th}={\frac {det(G_{k})}{det(G_{0})}}$ e $R_{th}={\frac {A_{kl}}{det(G_{0})}}$

Conversão do Equivalente de Thévenin no Equivalente de Norton

Os teoremas de Thévenin e de Norton são dois teoremas duais aplicáveis a circuitos lineares. O teorema de Norton estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de corrente (igual à corrente do ponto em curto-circuito) em paralelo com uma impedância (igual à impedância do circuito vista desse ponto). A esta configuração chamamos configuração Norton, ou Equivalente de Norton.

Equivalente de Norton.

Decorre destes dois teoremas que uma configuração Thévenin pode ser transformada numa configuração Norton, e vice-versa, desde que Vo = Z Is.

Limitações dos teoremas de Thévenin e Norton

Os teoremas de Thévenin e Norton estão limitados a aplicações em circuitos lineares.

Ligações externas

• «All About Circuits: dá a sua própria explicação sobre o teorema de Thévenin» (em inglês) 
• «Origens do conceito do circuito equivalente (contém demonstração do teorema de Thévenin)» (PDF) (em inglês)