Teorema do resto

Em álgebra, o teorema do resto afirma que o resto $r\,$, que resulta da divisão de um polinômio $p(x)\,$ por $x-a\,$, é igual a $p(a)\,.$

O teorema do resto permite que se calcule $f(a)\,$ calculando o resto ou vice-versa. E também se pode usá-lo para decompor um polinômio em fatores.

Demonstração

Seja $p(x)\,$ um polinômio a uma variável em um corpo. Então existem únicos $q(x)\,$ e $r(x)\,$, também polinômios a uma variável em um corpo, de forma que $p(x)=q(x)\cdot (x-a)+r(x)\,$ com o grau de $r(x)\,$ menor que o grau de $q(x)\,$.

Desta forma, vemos que $p(a)=q(a)\cdot (a-a)+r(a)\,$

$p(a)=q(a)\cdot 0+r(a)\,$

$p(a)=r(a)\,$, como queríamos demonstrar. (c.q.d)

Ver também

• Divisão polinomial
• Algoritmo de Briot-Ruffini
• Teorema fundamental da álgebra

Bibliografia

• IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol.6. 7ª ed. São Paulo: Atual, 2002.