Teoria de Sturm-Liouville

Na teoria das equações diferenciais ordinárias, chama-se de equaçao de Sturm-Liouville, nome dado em homenagem aos matemáticos Jacques Charles François Sturm (1803-1855) e Joseph Liouville (1809-1882), uma equação diferencial real de segunda ordem da forma:

$-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y,\qquad (1).$

As funções $p(x)$, $q(x)$, e $w(x)$ são parâmetros e, no caso dito regular, são contínuas no intervalo fechado limitado $[a,b]$. O problema é normalmente complementado com condições de contorno especificadas. A função $w(x)$ é costumeiramente chamada de função "peso" ou função "densidade".

O valor de $\lambda$ pode não ser especificado na equação. Encontrar os valores de $\lambda$ para os quais existe uma solução não trivial de (1) satisfazendo as condições de contorno constitui o problema de Sturm-Liouville. Tais $\lambda$ são chamados de valores próprios ou autovalores.

Utilizando coordenadas polares na equação do fluxo de velocidade de Madelung, obtemos uma equação de Sturm-Liouville. Aplicando condições adequadas, alguns problemas clássicos da Mecânica Quântica podem ser resolvidos.

Ver também

• Equação diferencial