Torsão de uma curva

A torção(τ) é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional (r). Essa propriedade mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura por meio de um movimento "torsional" que pode ser no sentido de aproximar-se ou afastar-se do vetor normal.

Triedro de Frenet-Serret ilustrando os vetores Tangente, Normal e Binormal
Nó toral com vetores tangente T (rosa), normal N (marrom) e binormal B (verde).
O módulo da torção é dado por  onde  é o vetor binormal e  é o vetor que descreve uma curva parametricamente.[nota 1]

Calcular a torção por esse método é extremamente trabalhoso porque envolve achar o vetor binormal dado pelo produto vetorial o que por sua vez envolve achar os vetores normal e tangente incluindo normalizações e algumas derivações.

Fórmulas mais simples podem ser deduzidas para a torção e para a curvatura que envolvem apenas o vetor e suas derivadas, tornando o cálculo destas uma tarefa consideravelmente mais simples. Elas são dadas por:

(torção) e (curvatura)

Demonstração [1]

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Seja   a parametrização de uma curva e  . Então vale:

1.  

2.  

3.  ,[nota 2]

onde  ,   e   são os vetores unitários tangente, normal e binormal, respectivamente.


A ideia é calcular as três primeiras derivadas de   e relacioná-las à torção e curvatura. Dessa forma:

  onde fizemos a decomposição do vetor   em módulo   e direção  

  onde utilizamos a igualdade 1.


A derivada segunda de   é dada pela derivação da expressão acima de   utilizando a regra do produto:

 


Utilizando a igualdade 2. temos:

 


Calculemos a derivada de terceira ordem de   derivando a expressão anterior para   :

  onde utilizamos apenas a regra do produto.


Lançando mão das igualdades 2. e 3. (evidenciadas entre colchetes)

 


Simplificando e colocando  ,   e   em evidência:

 


Nossas três derivações ficaram assim:

 

 

 


Observemos que

 

 


Tomando o módulo temos:

 

  lembrando que o vetor binormal   é unitário


Isolando   obtemos nosso primeiro resultado:

  (curvatura)


Agora tomemos o produto escalar de   com  

 


O que se reduz a:

 

 


Sendo  , temos:

 


Isolando  :

  (torção)

que é o nosso segundo e principal resultado.


Propriedades da torção[2]

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A torção mede a variação do vetor binormal em relação ao comprimento da curva(s).

Além de usar a curva r para calcular a torção, pode-se usar o vetor binormal.


 


Como  ,  .


Isso implica que   é ortogonal a T e   é ortogonal a B.

Logo,  é paralelo a N, ou seja,  .


O sinal negativo indica que quando   está no sentido - . Então, se P é um ponto sobre a curva movendo-se no sentido positivo,   gira em torno de   como um parafuso de rosca direita sendo apertado, caso seja negativa, seria como um parafuso de rosca esquerda.


Quanto maior o valor da torção, mais esticada são as curvas. No entanto, se esticada até o infinito, a curva passa a ser uma reta.


Notas

  1. Letras em negrito representam vetores que são funções da variável independente t, ou seja,  ,   etc.
  2. A derivação representada por   é com respeito à variável independente t.

Referências

  1. Louis, Brand (1948). Vector and Tensor Analysis. [S.l.: s.n.] 
  2. «Curvatura e Torção»