Usuário(a):Rpez/Onda estacionária

Uma onde estacionária (preta) como superposição de duas outras ondas. Os pontos vermelhos representam os nós estacionários. As ondas que geram a onda estacionário são mostradas em azul e vermelho.

Ondas estacionárias são ondas que possuem um padrão de vibração estacionário. Formam-se a partir de uma superposição de duas ondas idênticas mas em sentidos opostos, normalmente quando as ondas estão confinadas no espaço como ondas sonoras em um tubo fechado e ondas de uma corda com as extremidades fixas. Esse tipo de onda é caracterizado por pontos fixos de valor zero, chamados de nodos, e pontos de máximo também fixos, chamados de antinodos. São ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos. ^[1]

Ondas Opostas

Uma onda estacionária em uma linha de transmissão é uma onda na qual a distribuição de corrente elétrica, tensão elétrica, ou campo elétrico é formado pela superposição de duas ondas de mesma frequência se propagando na direção oposta. O efeito é uma série de nodos (deslocamento zero) e antinodos (deslocamento máximo) em pontos fixos ao longo da linha de transmissão. Esta onda estacionária pode ser formada quando uma onda é transmitida a partir de uma extremidade da linha de transmissão e é refletida na outra extremidade por um casamento de impedâncias, ex., descontinuidade, como um circuito aberto ou um curto-circuito.^[2]

Na prática, perdas na linha de transmissão e outros componentes significa uma reflexão perfeita e uma onda estacionária pura nunca é gerada. O resultado é uma onda estacionária parcial, que é uma superposição de uma onda estacionária e uma outra onda. A forma de onda resultanteé medida pela relação de ondas estacionárias (ROE).^[3]

Descrição Matemática

Quando há um movimento oscilatório harmônico simples, como por exemplo em uma corda, o deslocamento $y_{n}(x,t)$ de cada ponto da onda pode ser descrito pela equação:

y_{n}(x,t)\;=\;A_{n}(x)\,\cos(\omega _{n}t+\delta _{n})\,

Sendo:

A_n (x) a amplitude, que depende da posição x do elemento,
ω a frequência angular (medida em radianos por segundo),
δ_n a constante de fase,
t é a variável tempo.

A função A_n (x) é a forma da onda quando a vibração tem seu deslocamento máximo e em seu n-ésimo modo pode ser definida por:

A_{n}(x)\;=\;A_{n}\sin(k_{n}x)\,

Onde:

k_n é o número de onda (definido por 2π/λ_n)

Utilizando ambas as equações podemos definir a função da onda em seu n-ésimo harmônico por:

y_{n}(x,t)\;=\;A_{n}\sin(k_{n}x)\,\cos(\omega _{n}t+\delta _{n})\,

Presumindo que ambas as condições necessárias para que ocorra o movimento da onda estacionária sejam satisfeitas. São elas:

Cada ponto da onda oscila em movimento harmônico simples ou permanece em repouso (nodo).
O movimento de dois pontos da onda que não sejam nodos oscilam defasados em 180º ou em fase.^[1]

Ondas Estacionárias em Cordas

Os três primeiros harmônicos de uma corda com ambas as extremidades fixas.

Em certas frequências de oscilação cordas com uma ou ambas as extremidades fixas podem gerar ondas estacionárias.^[1]

Corda com Ambas as Extremidades Fixas

Se excitada uma corda fixa em ambas as extremidades com um movimento harmônico simples de amplitude pequena, são produzidos padrões de ondas estacionárias para certas frequências de excitação. As frequências que geram este comportamento são chamadas de frequência de ressonância. A menor frequência de ressonância é chamada de frequência fundamental (vamos chama-la de f₁) e produz um padrão de onda estacionária chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico. Cada frequência de ressonância juntamente com a respectiva função de onda corresponde a um modo de vibração. Como a corda está fixa em ambas as extremidades, nestes locais é formado um nodo. Nota-se assim que no primeiro harmônico haverá somente um antinodo, no segundo haverá dois antinodos e assim por diante. A partir destas observações e considerando λ o comprimento de onda, temos que:

A distância entre dois nodos consecutivos, que é a mesma de dois antinodos, vale ${\frac {\lambda }{2}}$ .
A distância entre um nó e um ventre consecutivo vale ${\frac {\lambda }{4}}$ .

Sendo L o comprimento da corda, ele pode ser expresso por:

L=n{\frac {\lambda _{n}}{2}}\;\;\;\;\;\;\;n=1,2,3,...

Onde n representa o n-ésima harmônica.^[1]

Corda com Uma das Extremidades Fixa e a Outra Livre

Quando uma das extremidades se encontra fixa e a outra, por exemplo, se encontra ligada a um anel (de massa desprezível) livre para deslizar na vertical, sem atrito. Como o movimento da corda é livre na vertical, diz-se que aquela é uma extremidade livre. Como a massa do anel é desprezível, a força vertical gerada pela corda geraria uma aceleração infinita ao anel. Se a forma da corda junto ao anel permanecer horizontal a aceleração se manterá finita. Assim, na extremidade livre da corda haverá um antinodo. Deve-se notar, portanto, que diferentemente da corda fixa em ambas extremidades, a cada harmônica a um número ímpar de antinodos Como a corda representa a distância entre um nodo (a extremidade fixa) e um antinodo (a extremidade livre), o comprimento da corda é dado por:

L=n{\frac {\lambda _{n}}{4}}\;\;\;\;\;\;\;n=1,3,5,...

Onde n representa o n-ésima harmônica, não havendo os harmônicos pares nesse sistema.^[1]

Ondas Sonoras Estacionárias

Iremos considerar um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada. Como uma onda sonora pode ser considerada uma onda de pressão ou uma onda de deslocamento e as oscilações de pressão e deslocamento são defasadas em 90º, em uma onda sonora estacionária onde há um nodo de pressão há um antinodo de deslocamento e vice-versa. Se a circunferência do tubo for muito menor que o comprimento da onda, podemos dizer que a onda sonora no tubo é unidimensional e há um nodo de pressão na extremidade aberta do tubo. Há, portanto, um antinodo na extremidade fechada do tubo. Assim as oscilações em um tubo com uma extremidade aberta e a outro fechada se assemelha com uma corda com uma extremidade fixa e a outra livre. Seguindo a mesma interpretação, em um tubo com ambas as extremidades abertas, há um nodo de pressão em cada extremidade. Estas configurações fazem com que as ondas estacionárias em um tubo de ambas as extremidades abertas se assemelhe as de uma corda com ambas as extremidades fixas.^[1]

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Tipler, Paul Allan (2006). Física para Cientistas e Engenheiros. mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica 5 ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Cientíciso Editora S.A. Parâmetro desconhecido |volumes= ignorado (|volume=) sugerido (ajuda)
↑ Predefinição:FS1037C
↑ Blackstock, David T. (2000), Fundamentals of Physical Acoustics, ISBN 0-471-31979-1, Wiley–IEEE , 568 pages. See page 141.

External links

[TiplerV1-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Tipler, Paul Allan (2006). Física para Cientistas e Engenheiros. mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica 5 ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Cientíciso Editora S.A. Parâmetro desconhecido |volumes= ignorado (|volume=) sugerido (ajuda)

[2] Predefinição:FS1037C

[3] Blackstock, David T. (2000), Fundamentals of Physical Acoustics, ISBN 0-471-31979-1, Wiley–IEEE , 568 pages. See page 141.

[1]

[2]

[3]