Circulação (física)

Em física, circulação é a integral de linha de um campo vetorial em torno de uma curva fechada. Em dinâmica de fluidos, o campo é o campo de velocidade do fluido. Em eletrodinâmica, pode ser o campo elétrico ou o campo magnético.

Linhas de campo de um campo vetorial v, em torno do limite de uma superfície curva aberta com elemento de linha infinitesimal dl ao longo da fronteira e através do seu interior com dS o elemento de superfície infinitesimal e n o unidade normal à superfície. Em cima: Circulação é a integral de linha de v em torno de um circuito fechado C. Projetando v ao longo de dl, então somando. Aqui v é dividido em componentes perpendicular (⊥) paralelo ( ‖ ) a dl, os componentes paralelos são tangenciais ao laço fechado e contribuem para a circulação, os componentes perpendiculares não. Em baixo: A circulação também é o fluxo da vorticidade ω = ∇ × v através da superfície, e o rotacional de v é através da superfície, e heuristicamente representado como uma seta helicoidal (não uma representação literal). Observe-se a projeção de v ao longo dl e o rotacional de v pode ser no sentido negativo, reduzindo a circulação.

Circulação foi usada pela primeira vez de forma independente por Frederick Lanchester, Martin Kutta e Nikolai Jukovski. Geralmente é denotada com Γ (letra grega gama maiúscula).

Definição e propriedades

Se V é um campo vetorial e dl é um vetor que representa o comprimento diferencial de um pequeno elemento de uma curva definida, a contribuição desse comprimento diferencial para a circulação é dΓ:

$$\mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta .$$

Aqui, θ é o ângulo entre os vetores V e dl.

A circulação Γ de um campo vetorial V em torno de uma curva fechada C é a integral de linha:

$$\Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$$

Em um campo vetorial conservador esta integral é avaliada como zero para cada curva fechada. Isso significa que uma integral de linha entre dois pontos quaisquer no campo é independente do caminho percorrido. Também implica que o campo vetorial pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar, a qual é chamada um potencial.

Relação com vorticidade e rotacional

A circulação pode estar relacionada ao rotacional de um campo vetorial V e, mais especificamente, para vorticidade se o campo for um campo de velocidade de fluido, $${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .$$

Pelo teorema de Stokes, o flux de vetores rotacional ou vorticidade através de uma superfície S é igual à circulação em torno de seu perímetro, $$\Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$$

Aqui, o caminho de integração fechado ∂S é a fronteira e perímetro de uma superfície aberta S, cujo elemento infinitesimal normal dS = ndS é orientado de acordo com a regra da mão direita. Assim, rotacional e vorticidade são a circulação por unidade de área, obtida em torno de um laço local infinitesimal.

Em fluxo potencial de um fluido com uma região de vorticidade, todas as curvas fechadas que envolvem a vorticidade têm o mesmo valor para circulação.

Usos

Teorema de Kutta–Joukowski em dinâmica dos fluidos

Ver artigo principal: Teorema de Kutta Joukowski

Na dinâmica dos fluidos, a sustentação por unidade de extensão (L') agindo sobre um corpo em um campo de fluxo bidimensional é diretamente proporcional à circulação, i.e. pode ser expresso como o produto da circulação Γ sobre o corpo, a densidade do fluido $\rho$, e a velocidade do corpo em relação ao fluxo livre $v_{\infty }$: $$L'=\rho v_{\infty }\Gamma$$

Isto é conhecido como o teorema de Kutta–Joukowski.

Esta equação se aplica em torno de aerofólios, onde a circulação é gerada pela ação do aerofólio; e em torno de objetos giratórios experimentando o efeito Magnus, onde a circulação é induzida mecanicamente. Na ação do aerofólio, a magnitude da circulação é determinada pela condição de Kutta.

A circulação em cada curva fechada ao redor do aerofólio tem o mesmo valor e está relacionada à sustentação gerada por cada unidade de comprimento de vão. Desde que a curva fechada envolva o aerofólio, a escolha da curva é arbitrária.

A circulação é frequentemente usada em dinâmica de fluidos computacional como uma variável intermediária para calcular forças em um aerofólio ou outro corpo.

Equações fundamentais do eletromagnetismo

Em eletrodinâmica, o lei da indução de Maxwell-Faraday pode ser expresso em duas formas equivalentes: que a curvatura do campo elétrico é igual à taxa negativa de variação do campo magnético, $$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$$

ou que a circulação do campo elétrico em torno de uma espira é igual à taxa negativa de variação do fluxo do campo magnético através de qualquer superfície abrangida pela espira, pelo teorema de Stokes $$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$$

A circulação de um campo magnético estático é, pela lei de Ampère, proporcional à corrente total envolvida pelo circuito $$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\text{enc}}.$$

Para sistemas com campos elétricos que mudam ao longo do tempo, a lei deve ser modificada para incluir um termo conhecido como correção de Maxwell.

Ver também

• Equações de Maxwell
• Lei de Biot-Savart em aerodinâmica
• Teorema da circulação de Kelvin