Inequação-quociente

Inequação-quociente é toda inequação na qual há um quociente de termos. Note que o quociente deve ser comparado à zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. Por ser quociente, os termos do denominador não podem assumir o valor de $0$. A inequação é da forma:

${\frac {\prod _{i=1}^{p}P_{i}(x)}{\prod _{i=1}^{q}Q_{i}(x)}}\star 0$, onde $P_{i}(x)$ e $Q_{i}(x)$ são polinômios.

Exemplo:

${\frac {(x-3)}{(x^{2}-4)}}>0$

Resolução

Há dois métodos principais de resolução da Inequação-Quociente: o método de decomposição (método matemático) e o do Quadro de Sinais (método prático).

Decomposição

Decompõe-se o produto em seus valores possíveis, obtêm-se o Conjunto Solução de cada valor e acha-se o valor geral possível:

${\frac {[f(x)]}{[g(x)]}}>0\Leftrightarrow (f(x)>0\land g(x)>0)\lor (f(x)<0\land g(x)<0)$
${\frac {[f(x)]}{[g(x)]}}\leq 0\Leftrightarrow (f(x)\geq 0\land g(x)<0)\lor (f(x)\leq 0\land g(x)>0)$

etc...

Note que $\land$ é o e lógico, equivalente à Interseção e que $\lor$ é o ou lógico, equivalente à União.

Exemplo

${\frac {(x-2)}{(2x-3)}}\geq 0$

$(x-2)\geq 0\land (2x-3)>0$

$x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2\Leftrightarrow S_{1}$

$2x-3>0\Leftrightarrow 2x>3\Leftrightarrow x>{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{2}$

$S_{1}\cap S_{2}\Leftrightarrow x\geq 2\land x>{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow x\geq 2\Leftrightarrow S_{3}$

$(x-2)<0\land (2x-3)<0$

$x-2\leq 0\Leftrightarrow x\leq 2\Leftrightarrow S_{4}$

$2x-3<0\Leftrightarrow 2x<3\Leftrightarrow x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{5}$

$S_{4}\cap S_{5}\Leftrightarrow x\leq 2\land x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{6}$

$S_{3}\cup S_{6}\Leftrightarrow x\geq 2\lor x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S$

Quadro de Sinais

Imagem representando a disposição dos fatores e das raízes no Quadro de Sinais.

Passos para a resolução da inequação-quociente pelo quadro se sinais:

1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação-quociente, igualando-os a zero.

2º) Após isso, estuda-se o sinal de cada fator, considerando que o denominador não pode resultar em 0.

3º) Então, faz-se um quadro de sinais, como mostrado na imagem, sendo $r_{1}$ a raiz de $f(x)$ e $r_{2}$ a raiz de $g(x)$.

4º) O quadro determina o sinal de cada fator, dependendo do $x$, para cada fator e, posteriormente, do próprio quociente, utilizando as regras de intervalos reais.

Exemplo

Resolução da Inequação-Produto ${\frac {(x-3)}{(7-x)}}\geq 0$.

${\frac {(x-3)}{(7-x)}}\geq 0\Leftrightarrow 3\leq x<7\Leftrightarrow S$

Observando a imagem, concluimos que o trecho em que o produto assume valor positivo é aquele que compreende os valores de $x$ entre $3$ e $7$, desconsiderando o caso em que $(7-x)$ é igual a $0$.

Outras inequações-quociente

É possível, na verdade, observar inequações-quociente sem fatores que sejam resumidos à inequações do 1º grau ou que tenham mais de dois fatores. Sua resolução, todavia, apesar de usar os métodos descritos, requisita outros conhecimentos:

${\frac {(x^{3}-2x^{2}+5)}{[log_{x}(x-1)]({\sqrt {2^{x}-x^{2}}})}}<0$

Bibliografia

• MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

Ver também

• Inequação
• Inequação simultânea
• Inequação-produto
• Inequação do 2º grau