Inequação do 2º grau

Uma Inequação do 2º Grau é uma inequação que pode ser reduzida à forma:

ax^{2}+bx+c\star 0

.

Note que comparar um dos termos a zero é essencial para a resolução de qualquer inequação mais complexa do que a inequação do 1º grau.

Inicialmente, acham-se os zeros da inequação, resolvendo-a como uma equação quadrática. Note que, achando 2 raízes reais, sabe-se que $\Delta >0$ , achando-se 1 raiz real, sabe-se que $\Delta =0$ e não se achando raiz real, sabe-se que $\Delta <0$ . Após isso, observa-se o sinal do coeficiente $a$ . Pelo estudo dos sinais da função quadrática, temos que:

$\Delta <0$ $\Delta <0$
- $a>0\rightarrow f(x)>0,\forall x\in \mathbb {R}$
- $a<0\rightarrow f(x)<0,\forall x\in \mathbb {R}$
$\Delta =0$ $\Delta =0$
- $a>0$ $a>0$
  - $f(x)>0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}$
  - $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}$
- $a<0$ $a<0$
  - $f(x)<0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}$
  - $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}$
$\Delta >0$ $\Delta >0$
- $a>0$ $a>0$
  - $f(x)>0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}$
  - $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}$
  - $f(x)<0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}$
- $a<0$ $a<0$
  - $f(x)>0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}$
  - $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}$
  - $f(x)<0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}$

Então, separe-se os valores adequados e obtém-se o conjunto-solução.

Praticamente, pode-se esboçar o gráfico da função

y=ax^{2}+bx+c

,

observando os sinais do coeficiente $a$ e do $\Delta$ , e selecionando as raízes que cumprem a função. Basta observar para que valores a curva está acima (positivo) ou abaixo (negativo) da abcissa.

Exemplos

$x^{2}+6\geq 5x\Leftrightarrow x^{2}-5x+6\geq 0$ . Se $x^{2}-5x+6=0$ , então $r_{1}=2$ e $r_{2}=3$ . Logo, $\Delta >0$ (uma vez que se obteve 2 raízes). Como $a=1>0$ , então, os valores que fazem $f(x)>0$ ou $f(x)=0$ são $x\leq 2$ ou $x\geq 3$
$x^{2}-2x+1\leq 0$ . Se $x^{2}-2x+1=0$ , então $r_{1}=r_{2}=1$ . Logo, $\Delta =0$ (uma vez que se obteve 1 raiz). Como $a=1>0$ , então, os valores que fazem $f(x)<0$ ou $f(x)=0$ são apenas $x=1$ .
$-x^{2}-x-1>0$ . Se $-x^{2}-x-1=0$ , então a equação não possui raízes reais. Logo, $\Delta <0$ . Como $a=-1<0$ , então não há valores que fazem $f(x)>0$ .