Integral de superfície

Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas sobre uma superfície.^[1]^[2]^[3] Dada uma superfície S, pode-se integrar sobre ela um campo escalar ou um campo vetorial. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.^[4] Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície.^[2] Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo, indicado por pela letra grega maiúscula Φ.^[3]

Definição

Seja $g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ , $g=g(x,y,z)$ , uma função definida em todos os pontos de uma superfície $S$ . A integral de superfície de $g$ sobre $S$ é definida por^[2]:

$\int \int _{S}gd\sigma$

onde, $d\sigma$ é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se $S$ é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial $F$ sobre $S$ por^[3]:

$\int \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} d\sigma$

onde, $\mathbf {n}$ é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície $S$ contribuirão no cálculo do fluxo.^[4]

Orientação

Assim como as curvas, também as superfícies precisam ser orientadas, a fim de que, ao adotar certa convenção, sempre se encontre o mesmo sinal para fluxo Φ. Diz-se que uma superfície de dois lados é orientável e que uma superfície de um único lado é não orientável. Assim, existe a necessidade de distinção dos lados de uma superfície orientável e convenção para orientação considerada positiva e negativa, pois ao inverter a orientação de S inverte-se o sinal de Φ.^[4]

Sendo assim:

O sinal de ${\overrightarrow {n}}$ serve para orientar $S$ .

Para o cálculo de ${\overrightarrow {n}}$ :
Suponha que a superfície $S$ seja dada como: $z=g(x,y)$ ou $y=g(x,z)$ ou $x=g(y,z)$ .
Reescrevendo cada uma das equações na forma $G(x,y,z)=0$ é possível interpretar a última como a equação de uma superfície de nível de uma função $w=G(x,y,z)$ .
A partir do conceito que ${\overrightarrow {\nabla }}G$ é um vetor 3-D e representa um vetor normal à superfície de nível $G(x,y,z)=0$ , pode-se definir ${\overrightarrow {n}}$ da seguinte forma:

{\overrightarrow {n}}={\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}

ou

{\overrightarrow {n}}=-{\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}

Elemento de área

Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície ${\textstyle S}$ sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que ${\textstyle S}$ é descrita pela superfície de nível $f(x,y,z)=c$ . Consideremos, ainda, um plano dado ${\textstyle \alpha }$ de normal unitária $\mathbf {p}$ . A projeção de $S$ sobre $\alpha$ define uma região planar que denotaremos por ${\textstyle R}$ .

Com isso, aproximamos um elemento de área $\Delta S$ da superfície $S$ pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área $\Delta S$ projetado sobre o plano $\alpha$ . Denotando este por $\Delta A$ , temos^[2]:

$\Delta S\approx {\frac {1}{|\cos \gamma |}}\Delta A$

onde, $\gamma$ é o ângulo entre o vetor gradiente $\nabla f$ e o vetor $\mathbf {p}$ calculado em algum ponto de $\Delta S$ .

Assim, podemos calcular o elemento de área $d\sigma$ por^[2]:

d\sigma ={\frac {1}{|\cos \gamma |}}dA

onde, $\gamma$ é o ângulo entre o vetor gradiente $\nabla f$ e o vetor $\mathbf {p}$ . $dA$ é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo $\gamma$ está relacionado ao produto interno entre $\nabla f$ e $\mathbf {p}$ por:

\nabla f\cdot \mathbf {p} =|\nabla f||\mathbf {p} |\cos \gamma

Segue, daí, que o elemento de área $d\sigma$ pode ser calculado por:

$d\sigma ={\frac {|\nabla f||\mathbf {p} |}{|\nabla f\cdot \mathbf {p} |}}dA$

Teorema

Seja $S$ uma superfície suave da forma $z=g(x,y)$ ou $y=g(x,z)$ ou $x=g(y,z)$ e seja ${\overrightarrow {F}}$ um campo vetorial contínuo em $S$ . Supondo também que a equação de $S$ seja reescrita como $G(x,y,z)=0$ , ao passar $g$ para o membro esquerdo da equação e seja $R$ a projeção de $S$ no plano coordenado das variáveis independentes de $g$ .^[4] Então:
$\phi =\int \int _{S}{\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {n}}dS=\pm \int \int _{R}{\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {\nabla }}GdA$

Cálculo da integral de superfície

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar.^[2] Seja $g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ , $g=g(x,y,z)$ , uma função definida em todos os pontos de uma superfície $S$ descrita pela superfície de nível $f(x,y,z)=c$ . Seja, ainda, $R$ a região planar definida pela projeção de $S$ sobre um plano dado $\alpha$ . Então, a integral de superfície de $g$ sobre $S$ pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre $R$ :

\int \int _{S}gd\sigma =\int \int _{R}g{\frac {|\nabla f||\mathbf {p} |}{|\nabla f\cdot \mathbf {p} |}}dA

Observações Importantes

Já que foi feita substituição de uma integração de superfície por uma integração dupla na região dos planos coordenados, o integrando deve coincidir com os pontos da superfície. É indispensável identificar a superfície.^[4]

Nas aplicações, as superfícies mais simples são os planos, cúbicas, e os tetraedros. Também é possível ter superfícies de revolução, como cilíndricas, e superfícies quádricas.^[4]

É importante a observação do integrando ${\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {\nabla }}G$ , para escolha do sistema de coordenadas mais apropriado, tendo em vista a simetria da superfície.^[4]

Exemplo

Exemplo da apostila da prof Irene Strauch^[4].

Calcular o fluxo de ${\overrightarrow {F}}=3z^{2}{\overrightarrow {i}}+6{\overrightarrow {j}}+6xz{\overrightarrow {k}}$ através da superfície $S$ dada por $y=x^{2}$ com $0\leq x\leq 2$ e $0\leq z\leq 3$ e orientada para fora da concavidade.

Resolução

G(x,y,z)=y-f(x,z)=y-x^{2}

{\overrightarrow {\nabla }}G(x,y,z)=-2x{\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}

{\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {\nabla }}G=-6xz^{2}+6

A região projetada é o retângulo no plano

xz

restrito a

0\leq x\leq 2

e

0\leq z\leq 3

, então

\phi =\int \int _{R}(-6xz^{2}+6)dA

\phi =-\int _{0}^{3}\int _{0}^{2}(-6xz^{2}+6)dxdz

\phi =-36+(4\cdot 27)=72

Integral de superfície de campos escalares

Supondo que f seja uma função de um campo escalar de três variáveis em uma superfície suave S. Para encontrar uma fórmula explícita da integral de superficie f sobre S, é precido parametrizar S. Dada a parametrização r(s, t), onde (s, t) varia em alguma região T no plano, a integral de superfície é definida por:

\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r}  \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

Se S for o gráfico de uma função $z=z(x,y)$ , então:

${\begin{aligned}\iint _{S}f\,\mathrm {d} S&{}=\iint _{T}f\mathbf {(} x,y,z(x,y)){\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}$

Onde T é a projeção de S sobre o plano xy.^[5]

Integral de superfície de campos vetoriais

O fluxo total através da superfície é encontrado somando-se o produto

\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS

para cada partição. A medida que os pedaços se tornam infinitamente pequenos, a integral da superfície é

{\textstyle \int _{S}{\mathbf {F\cdot n}}\;dS}

Seja uma superfície suave $S$ representada por ${\vec {r}}(u,v)=x(u,v){\vec {i}}+y(u,v){\vec {j}}+z(u,v){\vec {k}}$ e ${\vec {n}}={\vec {n}}(u,v)$ um vetor unitário normal a essa superfície. Dado um campo vetorial ${\vec {f}}$ definido sobre $S$ , a integral de superfície é definida por:

{\begin{aligned}\iint _{S}\left({\mathbf {\vec {f}} }\cdot {\mathbf {\vec {n}} }\right)\,\mathrm {d} s\ =\iint _{T}{\mathbf {\vec {f}} }(\mathbf {\vec {r}} (s,t))\cdot {\vec {n}}(s,t)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\end{aligned}}

quando a integral da direita existe. Se $S$ é suave por partes, a integral é definida sobre a soma das integrais de cada fragmento de $S$ . Como o vetor unitário ${\vec {n}}$ é dado por:

{\begin{aligned}{\vec {n}}={{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\end{aligned}}

os módulos do produto vetorial se anulam. A expressão se torna:

${\begin{aligned}\iint _{S}\left({\mathbf {\vec {f}} }\cdot {\mathbf {\vec {n}} }\right)\,\mathrm {d} s\ =\pm \iint _{T}{\mathbf {\vec {f}} }(\mathbf {\vec {r}} (s,t))\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

A integral terá sinal positivo se o lado de $S$ escolhido para integração for o lado do qual emana o vetor unitário ${\vec {n}}$ . Do contrário, o sinal será negativo.^[5]

Aplicações

Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Aqui, discutimos rapidamente algumas delas.
Na Mecânica dos Fluidos poderemos ter fluxo de um campo de velocidades ${\vec {v}}$ . No Eletromagnetismo teremos fluxo de um campo elétrico ${\vec {E}}$ ou de um campo de indução magnética ${\vec {B}}$ através de uma superfície $S$ . Se o campo vetorial for um campo de densidade de corrente, indicado pela letra ${\vec {J}}$ , então o fluxo terá dimensão de massa por unidade de tempo ou de corrente elétrica, conforme estejamos estudando o movimento de um fluido ou o movimento de cargas elétricas, respectivamente.^[4]

Massa

Suponhamos que $S:f(x,y,z)=c$ descreve a superfície de uma placa fina com densidade de massa dada pela função $\delta =\delta (x,y,z)$ . Então, a massa $M$ da placa é dada pela integral de superfície^[2]:

M=\int \int gd\sigma

.

Fluxo

Uma superfície (orientada de acordo com que o fluxo positivo seja atravessando-a de baixo para cima) e linhas de campo atravessando-a.

Seja $S:f(x,y,z)=c$ uma superfície no espaço e ${\vec {F}}$ um campo vetorial. Em cada ponto de S existem dois vetores normais unitários, apontando em direções opostas; o vetor normal unitário com orientação positiva, denotado por ${\hat {n}}$ . Se S é uma superfície fechada, como uma esfera ou um cubo, então por convenção ela é orientada de forma que o lado exterior seja o positivo( ${\hat {n}}$ sempre aponta pra fora de S).^[6]

Então o fluxo através de S é determinado por

\iint \limits _{S}{\vec {F}}\cdot {\hat {n}}dS

onde $dS$ é o elemento de área da superfície

Também é usada a notação ${\vec {dS}}={\hat {n}}dS$

Por exemplo, se ${\vec {F}}$ é o campo de velocidades de um escoamento, então esta integral fornece o fluxo do escoamento através de $S$ .^[2]

Ver também

Referências

↑ Flemming, Diva Marília. Cálculo B 2 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788576051169
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Thomas, George B. (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788581430874
↑ ^a ^b ^c Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 2 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112593
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Strauch, Irene (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática.
↑ ^a ^b Gonçalves, Flemming, Mirian Buss, Diva Marília (2007). Cálculo B 2 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788576051169
↑ 18.02 Notes and Exercises by A. Mattuck and Bjorn Poonen with the assistance of T.Shifrin and S. LeDuc c M.I.T. 2010-2014

[1] Flemming, Diva Marília. Cálculo B 2 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788576051169

[:0-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Thomas, George B. (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788581430874

[:1-3] Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 2 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112593

[:2-4] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Strauch, Irene (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática.

[:B-5] Gonçalves, Flemming, Mirian Buss, Diva Marília (2007). Cálculo B 2 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788576051169

[6] 18.02 Notes and Exercises by A. Mattuck and Bjorn Poonen with the assistance of T.Shifrin and S. LeDuc c M.I.T. 2010-2014

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]