Os polinômios de Laguerre são uma família de polinômios ortogonais em homenagem a Edmond Laguerre , e aparecem na análise de soluções para a equação diferencial
x
y
″
+
(
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}
Desenvolvendo
y
{\displaystyle y}
a
k
+
1
=
k
−
n
(
k
+
1
)
2
a
k
,
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
;
y
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
{\displaystyle a_{k+1}={\frac {k-n}{(k+1)^{2}}}a_{k},\ \ k=0,1,2,...;\ \ \ y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,}
Pode-se ver que quando n é natural o coeficiente da potência de grau maior e diferente de n se anula. Ou seja, uma solução linearmente independente é um polinômio de grau n (polinômio de Laguerre de ordem n , denotados por Ln (x)). Para encontrar a segunda solução linearmente independente, deve-se estudar as soluções da equação mais geral, que é
y
″
(
x
)
+
p
(
x
)
y
′
(
x
)
+
q
(
x
)
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0}
Um polinômio de Laguerre de ordem n é definido por
L
n
(
x
)
=
(
1
/
(
n
!
)
)
e
x
d
n
d
x
n
(
x
n
e
−
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)=(1/(n!))e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}
Que, após o desenvolvimento, assume a forma:
L
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
1
k
!
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
k
!
x
k
{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-k)!k!k!}}x^{k}}
Eis alguns desses polinômios:
[ 1]
n
L
n
(
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
−
x
+
1
{\displaystyle -x+1\,}
2
(
1
/
2
)
(
x
2
−
4
x
+
2
)
{\displaystyle (1/2)(x^{2}-4x+2)\,}
3
(
1
/
6
)
(
−
x
3
+
9
x
2
−
18
x
+
6
)
{\displaystyle (1/6)(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}
4
(
1
/
24
)
(
x
4
−
16
x
3
+
72
x
2
−
96
x
+
24
)
{\displaystyle (1/24)(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}
5
(
1
/
120
)
(
−
x
5
+
25
x
4
−
200
x
3
+
600
x
2
−
600
x
+
120
)
{\displaystyle (1/120)(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}
6
(
1
/
720
)
(
x
6
−
36
x
5
+
450
x
4
−
2400
x
3
+
5400
x
2
−
4320
x
+
720
)
{\displaystyle (1/720)(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
Os polinômios de Laguerre também podem ser definidos através da integral
L
n
(
x
)
=
1
2
π
i
∮
e
−
x
t
/
(
1
−
t
)
(
1
−
t
)
t
n
+
1
d
t
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt}
Onde a integração é feita no sentido anti-horário sobre qualquer caminho fechado em torno da origem do plano complexo contido no disco
| t | < 1.
A função geradora dos polinômios de Laguerre é dada por:
ψ
(
x
,
t
)
=
∑
n
=
0
∞
L
n
(
x
)
n
!
t
n
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
k
!
(
n
k
)
x
k
t
n
|
t
|
<
1
{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {L_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}t^{n}\ \ \ |t|<1}
Trocando-se a ordem dos somatórios, fazendo a mudança m = n - k e reordenando os termos, temos que:
ψ
(
x
,
t
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
x
k
t
k
∑
m
=
0
∞
(
m
+
k
k
)
t
m
{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}t^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}}
Sabendo-se que
∑
m
=
0
∞
(
m
+
k
k
)
t
m
=
(
1
1
−
t
)
k
+
1
∀
|
t
|
<
1
{\displaystyle \ \scriptstyle \sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}=\left({\frac {1}{1-t}}\right)^{k+1}\ \ \forall \ |t|<1}
ψ
(
x
,
t
)
=
1
1
−
t
∑
k
=
0
∞
1
k
!
(
−
x
t
1
−
t
)
k
=
1
1
−
t
exp
(
−
x
t
1
−
t
)
{\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{1-t}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)^{k}={\frac {1}{1-t}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}}
editar
A partir da função geradora, desprezando-se a potência e derivando em relação a t , pode-se chegar a uma relação de recorrência da seguinte forma:
L
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
−
x
)
L
n
(
x
)
−
n
2
L
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)\,}
Conhecidos os dois primeiros polinômios (ver tabela), pode-se usar esta fórmula para a obtenção do polinômio de grau n .
Os polinômios de Laguerre são ortogonais mediante o produto escalar :
⟨
L
n
|
L
m
⟩
=
∫
0
∞
L
n
(
x
)
L
m
(
x
)
e
−
x
d
x
=
(
n
!
)
2
δ
n
m
{\displaystyle \left\langle L_{n}|L_{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x}dx=(n!)^{2}\delta _{nm}}
No entanto, podemos definir as funções:
φ
n
(
x
)
=
1
n
!
L
n
(
x
)
e
−
x
/
2
{\displaystyle \varphi _{n}(x)={\frac {1}{n!}}L_{n}(x)e^{-x/2}}
Que são claramente ortonormais em relação ao produto escalar ordinário:
⟨
φ
n
|
φ
m
⟩
=
∫
0
∞
φ
n
(
x
)
φ
m
(
x
)
d
x
=
δ
n
m
{\displaystyle \left\langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{m}(x)dx=\delta _{nm}}
Ignorando da definição os polinômios de Laguerre e substituindo na equação da Laguerre, obtemos a equação diferencial cujas soluções são as funções acima:
x
φ
n
″
(
x
)
+
φ
n
′
(
x
)
+
(
n
+
1
2
−
x
2
)
φ
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle x\varphi _{n}''(x)+\varphi _{n}'(x)+\left(n+{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)\varphi _{n}(x)=0}
editar
Também chamados de polinômios de Laguerre generalizados, os polinômios associados são os que satisfazem a seguinte equação diferencial:
x
y
″
(
x
)
+
(
m
+
1
−
x
)
y
′
(
x
)
+
(
n
−
m
)
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle xy''(x)+(m+1-x)y'(x)+(n-m)y(x)=0\,}
São definidos a partir das derivadas dos polinômios de Laguerre:
L
n
m
(
x
)
=
1
n
!
d
m
d
x
m
L
n
(
x
)
=
1
n
!
d
m
d
x
m
(
e
x
d
n
d
x
n
(
x
n
e
−
x
)
)
m
≤
n
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right)\ \ \ m\leq n}
Embora seja vantajosa a seguinte definição:
L
n
m
(
x
)
=
e
x
x
−
m
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
+
m
)
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=e^{x}{\frac {x^{-m}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(e^{-x}x^{n+m})}
Pode-se ver que, para m > n o polinômio associado correspondente é nulo. Também é óbvio que
L
n
0
(
x
)
=
L
n
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle L_{n}^{0}(x)=L_{n}(x)}
Derivando-se a partir da definição, obtém-se:
L
n
m
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
−
m
(
−
1
)
k
(
n
k
+
m
)
1
k
!
x
k
=
∑
k
=
0
n
−
m
(
−
1
)
k
n
!
(
n
−
m
−
k
)
!
(
k
+
m
)
!
k
!
x
k
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{n \choose k+m}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-m-k)!(k+m)!k!}}x^{k}}
editar
A função geradora é dada por:
ψ
m
(
x
,
t
)
=
(
1
−
t
)
m
+
1
∑
n
=
m
∞
L
n
m
(
x
)
t
n
=
1
(
1
−
t
)
m
+
1
exp
(
−
x
t
1
−
t
)
|
t
|
<
1
{\displaystyle \psi _{m}(x,t)=(1-t)^{m+1}\sum _{n=m}^{\infty }L_{n}^{m}(x)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{m+1}}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}\ \ \ |t|<1}
De onde se deduz as relações de recorrência. Algumas delas são:
L
n
m
(
x
)
=
L
n
m
+
1
(
x
)
−
L
n
−
1
m
+
1
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=L_{n}^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)}
d
d
x
L
n
m
(
x
)
=
−
L
n
−
1
m
+
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)}
n
L
n
m
(
x
)
=
(
n
+
m
)
L
n
−
1
m
(
x
)
−
x
L
n
−
1
m
+
1
(
x
)
{\displaystyle nL_{n}^{m}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)-xL_{n-1}^{m+1}(x)}
(
n
+
1
)
L
n
+
1
m
(
x
)
=
(
2
n
+
m
+
1
−
x
)
L
n
m
(
x
)
−
(
n
+
m
)
L
n
−
1
m
(
x
)
{\displaystyle (n+1)L_{n+1}^{m}(x)=(2n+m+1-x)L_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)}
x
d
d
x
L
n
m
(
x
)
=
n
L
n
m
(
x
)
−
(
n
+
m
)
L
n
−
1
m
(
x
)
{\displaystyle x{\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=nL_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)}
Os polinômios asociados de Laguerre são ortogonais em relação à função peso
x
m
e
−
x
{\displaystyle \scriptstyle x^{m}e^{-x}}
⟨
L
n
m
|
L
n
′
m
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
x
m
L
n
m
(
x
)
L
n
′
m
(
x
)
d
x
=
Γ
(
n
+
m
+
1
)
n
!
δ
n
n
′
{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}\delta _{nn'}}
Outra relação importante é a seguinte:
⟨
L
n
m
|
L
n
′
m
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
x
m
+
1
L
n
m
(
x
)
L
n
′
m
(
x
)
d
x
=
Γ
(
n
+
m
+
1
)
n
!
(
2
n
+
m
+
1
)
δ
n
n
′
{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}(2n+m+1)\delta _{nn'}}
Onde
Γ
(
k
)
{\displaystyle \scriptstyle \Gamma (k)}
função Gama .
Tal como os polinômios Laguerre, as seguintes funções são ortonormais em relação à função peso 1:
φ
n
m
(
x
)
=
n
!
Γ
(
n
+
m
+
1
)
e
−
x
/
2
x
m
/
2
L
n
m
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{nm}(x)={\sqrt {\frac {n!}{\Gamma (n+m+1)}}}e^{-x/2}x^{m/2}L_{n}^{m}(x)}
São importantes na mecânica quântica outras funções que são ortonormais em relação à função peso
x
2
{\displaystyle \scriptstyle x^{2}}
equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio . Essas funções são:
R
n
l
(
ρ
)
=
N
e
−
ρ
/
2
ρ
l
L
n
+
l
2
l
+
1
(
ρ
)
{\displaystyle R_{nl}(\rho )=Ne^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n+l}^{2l+1}(\rho )}
Em geral, as funções da forma:
φ
n
m
ν
(
x
)
=
e
−
x
/
2
x
ν
L
n
m
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{nm\nu }(x)=e^{-x/2}x^{\nu }L_{n}^{m}(x)}
São ortogonais em relação à função
x
m
−
2
ν
{\displaystyle \scriptstyle x^{m-2\nu }}
x
φ
n
m
ν
″
(
x
)
+
(
m
+
1
−
2
ν
)
φ
n
m
ν
′
(
x
)
+
[
n
+
m
+
1
2
−
x
4
+
ν
(
ν
−
m
)
x
]
φ
n
m
ν
=
0
{\displaystyle x\varphi _{nm\nu }''(x)+(m+1-2\nu )\varphi _{nm\nu }'(x)+\left[n+{\frac {m+1}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {\nu (\nu -m)}{x}}\right]\varphi _{nm\nu }=0}
editar
Os polinômios de Laguerre estão relacionados com os polinômios de Hermite através de:
L
n
−
1
/
2
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
n
!
H
2
n
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{-1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}n!}}H_{2n}({\sqrt {x}})}
L
n
1
/
2
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
+
1
n
!
H
2
n
+
1
(
x
)
x
{\displaystyle L_{n}^{1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n+1}n!}}{\frac {H_{2n+1}({\sqrt {x}})}{\sqrt {x}}}}
![{\displaystyle x\varphi _{nm\nu }''(x)+(m+1-2\nu )\varphi _{nm\nu }'(x)+\left[n+{\frac {m+1}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {\nu (\nu -m)}{x}}\right]\varphi _{nm\nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df38663c91912537cc9b51ed778f4f351dac123)
