Princípio diamante

Em matemática, e particularmente na teoria axiomática dos conjuntos, o princípio diamante (◊) é um princípio combinatório introduzido por Björn Jensen (1972) que é verdadeiro no universo construível e que implica a hipótese do continuum.

"O princípio ◊_ω1 é o mesmo que ◊."

Jensen extraiu o princípio de diamante de sua prova de que V = L implica a existência de uma árvore de Suslin .

Definição

O princípio diamante ◊ (ouro) diz que existe uma seqüência-◊, em outras palavras, conjuntos de A_α⊆α para α<ω₁ tal que para qualquer subconjunto A de ω₁ o conjunto de α com A∩α = A_α é estacionário em ω₁.

Mais geralmente, para um determinado número cardinal $\kappa$ e um conjunto estacionário $S\subseteq \kappa$, a declaração ◊_S (por vezes escrita como ◊ (S) ou ◊_κ(S)) é a afirmação de que há uma seqüência $\langle A_{\alpha }:\alpha \in S\rangle$ de tal forma que:

• cada $A_{\alpha }\subseteq \alpha$
• para cada $A\subseteq \kappa ,\{\alpha \in S:A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ é fixo em $\kappa$

O princípio ◊_ω1 é o mesmo que ◊.

Propriedades e utilização

Jensen demonstrou que o princípio diamante ◊ implica a existência de árvores Suslin. Ele também mostrou que ◊ implica a HC. Também ♣ + HC implica ◊, mas Saharon Shelah deu modelos de ♣ + ¬ HC, deste modo ◊ (naipe ouro) e ♣ (naipe paus) não são equivalentes (sim, ♣ é mais fraco que ◊).

Akemann & Weaver utilizaram ◊ para construir uma C^*-algebra servindo como um contra-exemplo para o problema de Mark Aronovich Naimark.

Teoria dos conjuntos combinatória

Ver artigo principal: Combinatória

Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.

Teoria descritiva dos conjuntos

Ver artigo principal: Teoria descritiva dos conjuntos

Ver também

• Teoria das categorias
• Modelo relacional
• Axioma de construtibilidade