Sedenião

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários $\mathbb {i}$ Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais *$\mathbb {R}$ Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Os sedeniões ^{(português europeu)} ou sedênios ^{(português brasileiro)} formam uma álgebra de dezesseis dimensões sobre os números reais. O conjunto dos sedeniões é denotado como $\mathbb {S} .$ Dois tipos são atualmente conhecidos:

1. Sedeniões obtidos pela aplicação da construção de Cayley-Dickson;
2. Sedeniões cônicos (álgebra-M de dezesseis dimensões), depois de Charles Musès - parte do seu conceito de hipernúmero.

Sedeniões de Cayley-Dickson

Aritmética

Como os octoniões (de Cayley-Dickson), a multiplicação de sedeniões de Cayley-Dickson não é nem comutativa nem associativa. Mas, em contraste com os octoniões, os sedeniões não têm nem mesmo a propriedade de serem alternativos. Eles têm, entretanto, a propriedade de serem associativos em relação à potenciação.

Todo sedenião é uma combinação linear real dos sedeniões unitários 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈, e₉, e₁₀, e₁₁, e₁₂, e₁₃, e₁₄ e e₁₅, que formam uma base do espaço vetorial dos sedeniões.

Os sedeniões têm um elemento neutro da multiplicação (1) e inversos multiplicativos, mas eles não são uma álgebra da divisão. Isso porque eles têm divisores de zero; isso significa que dois números diferentes de zero podem ser multiplicados e ter um resultado igual a zero: um exemplo trivial é (e₃ + e₁₀) (e₆ - e₁₅). Todos os sistemas númericos hipercomplexos baseados na construção de Cayley-Dickson dos sedeniões contém divisores de zero.

A tabela de multiplicação desses sedeniões unitários é a seguinte:

×	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
e1	e1	-1	e3	-e2	e5	-e4	-e7	e6	e9	-e8	-e11	e10	-e13	e12	e15	-e14
e2	e2	-e3	-1	e1	e6	e7	-e4	-e5	e10	e11	-e8	-e9	-e14	-e15	e12	e13
e3	e3	e2	-e1	-1	e7	-e6	e5	-e4	e11	-e10	e9	-e8	-e15	e14	-e13	e12
e4	e4	-e5	-e6	-e7	-1	e1	e2	e3	e12	e13	e14	e15	-e8	-e9	-e10	-e11
e5	e5	e4	-e7	e6	-e1	-1	-e3	e2	e13	-e12	e15	-e14	e9	-e8	e11	-e10
e6	e6	e7	e4	-e5	-e2	e3	-1	-e1	e14	-e15	-e12	e13	e10	-e11	-e8	e9
e7	e7	-e6	e5	e4	-e3	-e2	e1	-1	e15	e14	-e13	-e12	e11	e10	-e9	-e8
e8	e8	-e9	-e10	-e11	-e12	-e13	-e14	-e15	-1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e9	e9	e8	-e11	e10	-e13	e12	e15	-e14	-e1	-1	-e3	e2	-e5	e4	e7	-e6
e10	e10	e11	e8	-e9	-e14	-e15	e12	e13	-e2	e3	-1	-e1	-e6	-e7	e4	e5
e11	e11	-e10	e9	e8	-e15	e14	-e13	e12	-e3	-e2	e1	-1	-e7	e6	-e5	e4
e12	e12	e13	e14	e15	e8	-e9	-e10	-e11	-e4	e5	e6	e7	-1	-e1	-e2	-e3
e13	e13	-e12	e15	-e14	e9	e8	e11	-e10	-e5	-e4	e7	-e6	e1	-1	e3	-e2
e14	e14	-e15	-e12	e13	e10	-e11	e8	e9	-e6	-e7	-e4	e5	e2	-e3	-1	e1
e15	e15	e14	-e13	-e12	e11	e10	-e9	e8	-e7	e6	-e5	-e4	e3	e2	-e1	-1

Sedeniões cônicos

Aritmética

Em contraste com os sedeniões de Cayley-Dickson, que são contituídos de uma unidade (1) e 15 raízes da unidade negativa (-1), sedeniões cônicos são constituídos de 8 raízes quadradas da unidade positiva e negativa cada. Eles compartilham a não-associatividade e a não-comutatividade com a aritmética dos sedeniões de Cayley-Dickson ("sedeniões circulares"). Entretanto, sedeniões cônicos são modulares, alternativos e flexíveis. Com a exceção de seus nilpotentes, divisores de zero e do próprio zero, a aritmética é fechada em relação à potenciação e às operações com logaritmos. Sedeniões cônicos não são associativos em relação à potenciação.