Teorema da convolução

Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto ponto a ponto das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier.

Sejam $\ f$ e $\ g$ duas funções e $\ f*g$ sua convolução (note-se que o asterisco aqui denota a operação de convolução, e não de multiplicação; o símbolo de produto tensorial $\otimes$ algumas vezes é usado no seu lugar.). Seja $\ {\mathcal {F}}$ o operador transformada de Fourier, tal que $\ {\mathcal {F}}\{f\}$ e $\ {\mathcal {F}}\{g\}$ são as transformadas de Fourier de $\ f$ e $\ g$ , respectivamente. Então

{\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}

onde o símbolo $\cdot$ denota multiplicação ponto a ponto. A recíproca também é verdadeira:

{\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}

A respeito da transformada inversa de Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$ , podemos escrever:

f*g={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}{\big \}}

Note-se que as fórmulas acima são válidas apenas quando a transformada de Fourier aparece na forma mostrada na seção de Prova abaixo. A transformada pode ser normalizada de outras formas, casos em que fatores de escalamento constantes (tipicamente $\ 2\pi$ ou $\ {\sqrt {2\pi }}$ ) aparecerão nas fórmulas.

Este teorema também vale para a transformada de Laplace, a transformada de Laplace bilateral e, quando convenientemente modificada, para a transformada de Mellin e para a transformada de Hartley. Ele pode ser estendido para a transformada de Fourier usada em análise de harmônicos, definida sobre grupos abelianos localmente compactos.

Esta formulação é especialmente útil na implementação numérica da operação de convolução em um computador digital. O algoritmo padrão para cálculo da convolução tem complexidade computacional quadrática; lançando mão do teorema da convolução e da transformada rápida de Fourier, a complexidade pode ser reduzida a O(n log n). Ele também pode ser explorado na construção de algoritmos mais rápidos para multiplicação de funções.

Prova

Esta prova se baseia numa forma normalizada particular da transformada de Fourier. Como mencionado acima, se outra normalização for usada, fatores de escalamento constantes aparecerão no desenvolvimento.

Sejam f e g duas funções pertencentes a L¹(Rⁿ). Seja $F$ a transformada de Fourier de $f$ e $G$ a transformada de Fourier de $g$ :

F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x

G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x,

onde o ponto entre x e ν indica o produto interno (ou escalar) em Rⁿ. Seja $h$ a convolução de $f$ e $g$

h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.

Agora, note-se que

\int \!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.

Daí, pelo teorema de Fubini, temos que $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que sua transformada de Fourier $H$ é dada pela fórmula integral

{\begin{aligned}H(\nu )={\mathcal {F}}\{h\}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz.\end{aligned}}

Observe-se que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|$ e assim, de acordo com o argumento acima, pode-se aplicar o teorema de Fubini novamente: