Transformada de Hartley

Em matemática, a transformada de Hartley é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de (i) evitar a presença de números complexos no cálculo e (ii) ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por R. V. L. Hartley em 1942 para aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas não despertou muito interesse até a década de 1980, após as pesquisas de Z. Wang e R. N. Bracewell (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). A versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley, foi introduzida por Bracewell em 1983.

A função cas(x) (linha vermelha) é o núcleo da transformada de Hartley. Sua derivada é a função cas'(x) (linha azul, tracejada).

A transformada de Hartley em duas dimensões pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a transformada óptica de Fourier, com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa.

Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a série de Hartley, que funciona de forma similar à série de Fourier.

Definição

A transformada de Hartley de uma função f(t) é definida por:

$H(\omega )\;=\;{\mathcal {H}}\{f(t)\}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot {\mbox{cas}}(\omega t)\;dt\;\;\;\;\;(1a)$

onde ω, em aplicações físicas, é a frequência angular e t é o tempo. A função cas (ing. cosine and sine)

${\mbox{cas}}(t)\;=\;\cos(t)\;+\;\sin(t)\;=\;{\sqrt {2}}\cdot \sin \left(t\;+\;{\frac {\pi }{4}}\right)\;=\;{\sqrt {2}}\cdot \cos \left(t\;-\;{\frac {\pi }{4}}\right)\;\;\;\;\;(1b)$

é o chamado núcleo de Hartley. Em aplicações de engenharia, essa transformação leva um sinal, representado por uma função f de valores reais, do domínio do tempo para o domínio espectral de Hartley, que é o domínio da frequência real.

Pela definição, vê-se que a transformada de Hartley de uma função é a soma de suas transformadas de seno e de cosseno.

Transformada inversa

A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser sua própria inversa (o que se chama, em matemática, uma involução):

$f\;=\;\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}\;\;\;\;\;(1c)$

Convenções

O exposto acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas, como também acontece com a transformada de Fourier, vários detalhes são matéria de convenção e podem ser alterados sem mudança nas propriedades essenciais da transformada:

• Em lugar de usar a mesma fórmula para a transformada e sua inversa, pode-se remover o ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ da fórmula da transformada e usar 1/2π na inversa — ou, na realidade, qualquer par de fatores de normalização cujo produto seja 1/2π (essas normalizações assimétricas são às vezes encontradas em textos de matemática pura e engenharia, inclusive na transformada de Fourier).
• Pode-se também usar 2πν em lugar de ω (isto é, a frequência simples em vez da frequência angular), quando então o coeficiente ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ é totalmente removido. Bracewell (2000) e Olejniczak (2000) são exemplos de autores que seguem essa convenção.
• Pode-se usar cos(t)-sin(t) em lugar de cos(t)+sin(t) como o núcleo.^{[carece de fontes]}.

Como neste verbete a transformada de Fourier desempenha um papel muito importante, vale a pena lembrar que a definição "angular-simétrica" para as transformações direta e inversa é a seguinte:

${\mathcal {F}}(\omega )\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\;dt$

$f(t)\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}(\omega )e^{i\omega t}\;d\omega$

É essa definição que deve-se ter em mente quando se mencionar aqui a transformada de Fourier. O uso dessa convenção evita a introdução de fatores de escalamento na maioria dos teoremas apresentados.

Relação com a transformada de Fourier

Essa transformada difere da transformada de Fourier clássica $F(\omega )\;=\;{\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )$ na escolha do núcleo. Na transformada de Fourier, é usado o núcleo exponencial $e^{-i\omega t}\;=\;\cos(\omega t)\;-\;i\sin(\omega t)$, onde i é a unidade imaginária.

As duas transformadas são bastante relacionadas, entretanto, e a transformada de Fourier (assumindo que se use forma simétrica de ambas e o mesmo fator de normalização) pode ser computada a partir da transformada de Hartley através de:

$F(\omega )\;=\;{\frac {H(\omega )\;+\;H(-\omega )}{2}}\;-\;i\cdot {\frac {H(\omega )\;-\;H(-\omega )}{2}}\;=\;H_{par}(\omega )\;-\;i\cdot H_{impar}(\omega )\;\;\;\;\;(2a)$

Ou seja, as partes real e imaginária da transformada de Fourier são dadas, respectivamente, pelas partes pares e ímpares da transformada de Hartley.

Inversamente, para funções de valores reais, a transformada de Hartley é dada, a partir das partes real e imaginária da transformada de Fourier, por:

$\{{\mathcal {H}}f\}\;=\;\Re \{{\mathcal {F}}f\}\;-\;\Im \{{\mathcal {F}}f\}\;=\;\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1\;+\;i)\}\;\;\;\;\;(2b)$

onde $\Re$ e $\Im$ denotam as partes real e imaginária da transformada de Fourier.

A transformada de Hartley H(ω) também pode ser obtida a partir da transformada real de Fourier R(ω) por meio da fórmula abaixo:

${\begin{bmatrix}H(\omega )\\H(-\omega )\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&&1\\1&&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{p}(\omega )\\R_{i}(\omega )\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;(2c)$

onde R_p(ω) e R_i(ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de R(ω).

Relações similares existem com a transformada real de Mellin M(σ,ω), outra transformação relacionada à transformada de Fourier:

${\begin{bmatrix}H(\omega )\\H(-\omega )\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&&1\\1&&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}M_{p}(\sigma ,\omega )\\M_{i}(\sigma ,\omega )\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;(2d)$

onde M_p(σ,ω) e M_i(σ,ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de M(σ,ω).

Condições de existência

Uma condição suficiente para a existência da transformada de Hartley de uma função f(x) é que exista a transformada de Fourier dessa função. Outro grupo de condições suficientes são as condições de Dirichlet:

• f(x) deve ser absolutamente integrável no intervalo [-∞,∞]
• f(x) deve ter um número finito de descontinuidades nesse intervalo
• f(x) deve ter um número finito de máximos e mínimos locais em qualquer subintervalo entre -∞ e ∞

Tais condições são suficientes, não necessárias. Funções importantes, como f(x) = cos(x), não atendem às condições de Dirichlet (neste caso, por não ser absolutamente integrável), mas ainda assim possuem uma transformada de Fourier e, por conseguinte, uma transformada de Hartley.

Interpretação da transformada de Hartley

A transformada de Fourier de uma função real f(x) é uma função complexa F(ω) que exibe simetria hermitiana, ou seja F(-ω) = F^*(ω), onde F^*(ω) denota o conjugado complexo de F(ω). Isso implica que existe uma certa redundância na função F, porque o valor de saída para entradas negativas está totalmente determinado pelo valor para entradas positivas. A transformada de Hartley de f(x), H(ω), não exibe tal comportamento. Isso também se reflete no fato de que F(ω) atribui dois números, um real e outro imaginário, a cada valor de entrada, enquanto H(ω) só atribui um número real.

Propriedades

Linearidade

Por consistir de uma combinação de operadores lineares (a transformada de senos e a transformada de cossenos), a transformada de Hartley é um operador linear e simétrico (Hermitiano). Das propriedades de simetria e auto-inversão (1c), segue-se que a transformada é um operador unitário (na verdade, ortogonal).

Teorema da convolução

Existe também um análogo ao teorema da convolução para a transformada de Hartley. Se duas funções $x(t)$ e $y(t)$ têm transformadas de Hartley $X(\omega )$ e $Y(\omega )$, respectivamente, então sua convolução $z(t)=x*y$ tem a transformada de Hartley

$Z(\omega )\;=\;\{{\mathcal {H}}(x\;*\;y)\}\;=\;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \left[{\frac {}{}}X(\omega )Y_{p}(\omega )\;+\;X(-\omega )Y_{i}(\omega )\right]\;\;\;\;\;(3a)$

onde Y_p e Y_i são as componentes par e ímpar, respectivamente, de Y(ω).

A expressão (3a) parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem t=0 de forma a fazer a função f(t) ser par (por exemplo), a expressão (3a) se simplifica para

$Z(\omega )\;=\;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \left[{\frac {}{}}X(\omega )Y(\omega )\right]\;\;\;\;\;(3b)$

que é idêntica ao teorema da convolução para a transformada de Fourier.

Paridade

Similarmente à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade: a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar.

Espectro de potência e fase

A densidade espectral P e a fase φ da transformada de Fourier F(ω) são dadas pelas expressões

$P(\omega )\;=\;|F(\omega )|^{2}\;=\;\left[\Re \{F(\omega )\}^{2}\;+\;\Im \{F(\omega )\}^{2}\right]$

$\phi (\omega )\;=\;\arctan \left({\frac {\Im \{F(\omega )\}}{\Re \{F(\omega )\}}}\right)$

a substituição da identidade (2a) nas equações acima resulta em

$P(\omega )\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}\left(H(\omega )\right)^{2}\;+\;\left(H(-\omega )\right)^{2}\right]\;\;\;\;\;(3c)$

$\phi (\omega )\;=\;\arctan \left({\frac {H(-\omega )\;-\;H(\omega )}{H(-\omega )\;+\;H(\omega )}}\right)\;\;\;\;\;(3d)$

Observe-se que P(ω) será sempre uma função par.

Escalamento e deslocamento do eixo

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então

${\mathcal {H}}\{f(ax)\}\;=\;{\frac {1}{|a|}}H\left({\frac {\omega }{a}}\right)\;\;\;\;\;(3e)$

e

${\mathcal {H}}\{f(x\;+\;b)\}\;=\;H(\omega )\cdot \cos(\omega b)\;+\;H(-\omega )\cdot \sin(\omega b)\;\;\;\;\;(3f)$

Em particular, se a = -1, então ${\mathcal {H}}\{f(-x)\}\;=\;H(-\omega )$.

Modulação

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω) e a função g(x) = cos(ω₀·x), então

${\mathcal {H}}\{f(x)\cdot g(x)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}H(\omega \;+\;\omega _{0})\;+\;H(\omega \;-\;\omega _{0})\right]\;\;\;\;\;(3g)$

Derivadas

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então a transformada da derivada de ordem n de f será dada por

${\mathcal {H}}\{f^{n}(x)\}\;=\;{\mbox{cas'}}\left({\frac {n\pi }{2}}\right)\cdot \omega ^{n}\cdot H\left((-1)^{n}\cdot \omega \right)\;\;\;\;\;(3h)$

onde cas' é a função cas complementar (ver abaixo).

Tabela de Transformadas de Hartley

A tabela abaixo traz as transformadas de Hartley de algumas funções comuns em aplicações de engenharia. Como as convenções variam entre representar a transformada como H(ω) ou como H(ν) (sendo que ω = 2πν; ver acima), as duas opções foram contempladas.

Tabela 1 - Transformadas de Hartley de algumas funções f(t)

$f(t)$	$H(\omega )$
$1$	$\delta (\omega )$
$e^{iat}$	$\delta (\omega \;-\;a)$
$\delta (t)$	$1$
$\delta (t\;-\;a)$	$\cos(a\omega )\;-\;\sin(a\omega )$
$u(t)$	${\frac {\delta (\omega )}{2}}\;+\;{\frac {\cos(a\omega )\;-\;\sin(a\omega }{\omega }}$
$u(t\;-\;a)$	${\frac {\delta (\omega )}{2}}\;+\;{\frac {1}{\omega }}$
$t\cdot u(t)$	$-{\frac {\delta '(\omega )}{4\pi }}\;-\;{\frac {1}{\omega ^{2}}}$
$\operatorname {sgn}(t)$	${\frac {2}{\omega }}$
$\cos(at)$	${\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;+\;\delta (\omega \;+\;a)\right]$
$\sin(at)$	${\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;-\;\delta (\omega \;+\;a)\right]$
$rect(t)$	$sinc(\omega )$
$tri(t)$	${\frac {1}{2}}\;sinc^{2}\left({\frac {\omega }{\pi }}\right)$
$e^{-at}\cdot u(t)$	${\frac {a\;+\;\omega }{a^{2}\;+\;\omega ^{2}}}$
$e^{-a^{2}t^{2}}\cdot u(t)$	${\frac {\sqrt {\pi }}{a}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}$
$e^{-a|t|}\cdot u(t)$	${\frac {2a}{a^{2}\;+\;\omega ^{2}}}$
$e^{at}\cdot \cos(bt)$	${\frac {(a\;-\;\omega )(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2})\;+\;2a\omega (a\;+\;\omega )}{(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2})^{2}\;+\;4a^{2}\omega ^{2}}}$
$e^{at}\cdot \sin(bt)$	${\frac {b(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2}\;+\;2a\omega )}{(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2})^{2}\;+\;4a^{2}\omega ^{2}}}$
$rect(t)\cdot \cos(bt)$	${\frac {\sin \left({\frac {\omega -b}{2}}\right)}{\omega \;-\;b}}\;+\;{\frac {\sin \left({\frac {\omega \;+\;b}{2}}\right)}{\omega \;+\;b}}$
$\cos(at)\cdot u(t)$	${\frac {2\pi \omega }{\omega ^{2}\;-\;a^{2}}}\;+\;{\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;+\;\delta (\omega \;+\;a)\right]$
$\sin(at)\cdot u(t)$	$-{\frac {2\pi a}{\omega ^{2}\;-\;a^{2}}}\;+\;{\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;+\;\delta (\omega \;+\;a)\right]$
onde: $\delta (t)\,$ é a função impulso unitário $\delta '(t)\,$ é a derivada do impulso unitário $u(t)\,$ é a função degrau unitário $\operatorname {sgn}(t)\,$ é a função sinal $rect(t)\,$ é a função retangular $sinc(t)\,$ é a função seno cardinal $tri(t)\,$ é a função triangular

Função cas

As propriedades da função cas seguem-se diretamente da definição (1b) (uma função trigonométrica linear com deslocamento de fase) e da trigonometria.

Adição de ângulos

${\mbox{cas}}(a\;+\;b)\;=\;{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)\;+\;{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)\;+\;{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)\;-\;{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)\;\;\;\;\;(4a)$

ou

${\mbox{cas}}(a\;+\;b)\;=\;\cos(a){\mbox{cas}}(b)\;+\;\sin(a){\mbox{cas}}(-b)\;=\;\cos(b){\mbox{cas}}(a)\;+\;\sin(b){\mbox{cas}}(-a)\;\;\;\;\;(4b)$

No caso particular:

${\mbox{cas}}(2a)\;=\;{\mbox{cas}}^{2}(a)\;+\;{\mbox{cas}}^{2}(-a)\;\;\;\;\;(4c)$

Derivada e anti-derivada

${\mbox{cas}}'(a)\;=\;{\frac {d}{da}}{\mbox{cas}}(a)\;=\;\cos(a)-\sin(a)\;=\;{\mbox{cas}}(-a)\;\;\;\;\;(4d)$

esta função é conhecida como cas complementar.

${\mbox{cas}}'(a)\;=\;{\sqrt {2}}\sin \left(a\;+\;{\frac {3\pi }{4}}\right)\;=\;{\sqrt {2}}\cos \left(a\;+\;{\frac {\pi }{4}}\right)\;\;\;\;\;(4e)$

$\int _{0}^{a}{\mbox{cas}}'(x)\;dx\;=\;-\;{\mbox{cas}}'(a)\;=\;-\;{\mbox{cas}}(-a)\;\;\;\;\;(4f)$

Relação de outras funções trigonométricas com a função cas(x)

$\cos(a)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}{\mbox{cas}}(a)\;+\;{\mbox{cas}}(-a)\right]\;\;\;\;\;(4g)$

$\sin(a)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}{\mbox{cas}}(a)\;-\;{\mbox{cas}}(-a)\right]\;\;\;\;\;(4h)$

Relação com a função exponencial

${\mbox{cas}}(a)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}(1\;+\;i)e^{-ia}\;+\;(1\;-\;i)e^{ia}\right]\;\;\;\;\;(4i)$

Produtos

${\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)\;=\;\cos(a\;-\;b)\;+\;\sin(a\;+\;b)\;\;\;\;\;(4j)$

${\mbox{cas}}(a)\;+\;{\mbox{cas}}(b)\;=\;2\;{\mbox{cas}}\left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\;\;\;\;\;(4k)$

${\mbox{cas}}(a)\;-\;{\mbox{cas}}(b)\;=\;2\;{\mbox{cas}}\left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\;\;\;\;\;(4l)$

Série de Hartley

A série de Hartley é uma expansão em série infinita de uma função periódica f(t), na forma

$f(t)\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }a_{k}\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2k\pi t}{\tau }}\right)\;\;\;\;\;(5a)$

onde τ é o período de f(t) e os coeficientes a_k são números reais. A série de Hartley é idêntica à série de Fourier, apenas com a base ortogonal sendo a função cas(x), e em vista disso exibe propriedades similares e encontra as mesmas aplicações práticas. Em particular, as condições para existência de ambas as séries são as mesmas.

A propriedade de ortogonalidade de cas(x) é sumamente importante, pois garante que o erro quadrático ε² na representação da função f(t) por meio da série finita

${\hat {f}}(t)\;=\;\sum _{k\;=\;-K}^{K}a_{k}\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2k\pi t}{\tau }}\right)\quad |\;k\in {\mathcal {N}}\;\;\;\;\;(5b)$

definido por

$\epsilon ^{2}\{f(t),{\hat {f}}(t)\}\;=\;(f(t)-{\hat {f}}(t))^{2}\;\;\;\;\;(5c)$

é o mínimo possível para um dado K e diminui com o aumento de K. Em outras palavras, os coeficientes a_k fornecem a melhor representação possível de f(t) para qualquer valor de K. Em aplicações práticas, é sempre necessário usar um número finito de coeficientes, e essa propriedade permite ajustar a qualidade da representação e as limitações computacionais.

Outra propriedade importante da série de Hartley é que o erro linear ε, definido como

$\epsilon \{f(t),{\hat {f}}(t)\}\;=\;f(t)-{\hat {f}}(t)\;\;\;\;\;(5d)$

pode ser feito arbitrariamente pequeno com o aumento de K (ou seja, ε não diminui assintoticamente). Essa propriedade decorre da equação de Parseval

$\sum _{k\;=\;1}^{\infty }a_{k}^{2}\;=\;(f(t))^{2}\;\;\;\;\;(5e)$

Os coeficientes a_k na equação (5a) são dados pela fórmula

$a_{k}\;=\;{\frac {1}{\tau }}\int _{\tau }f(t)\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2\pi kt}{\tau }}\right)\;d\tau \;\;\;\;\;(5f)$

Outras propriedades da série de Hartley

Reversão no tempo

Se g(t) = f(-t), os coeficientes b_k da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a_k da série de Hartley de f(t) pela expressão $b_{j}\;=\;a_{-j}$ para qualquer j.

Paridade

Se f(t) for uma função par, então $a_{j}\;=\;a_{-j}$ para qualquer j. Se f(t) for uma função ímpar, $a_{j}\;=\;-a_{-j}$ para qualquer j. Se f(t) for uma função com anti-simetria de meia-onda, ou seja, $f(t)\;=\;-\;f\left(t\;+\;{\frac {\tau }{2}}\right)$, então a_j = 0 para j par.

Derivada e anti-derivada

Se denotarmos por g(t) a derivada de f(t), os coeficientes b_k da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a_k da série de Hartley de f(t) pela expressão $b_{j}\;=\;-{\frac {a_{-j}\cdot j}{\tau }}$ para qualquer j.

Se denotarmos por g(t) a anti-derivada de f(t), os coeficientes b_k da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a_k da série de Hartley de f(t) pela expressão $b_{j}\;=\;{\frac {a_{-j}\cdot \tau }{j}}$ para qualquer j.

A Transformada Discreta de Hartley

(ver o artigo principal Transformada discreta de Hartley)

A transformada de Hartley é definida em um espaço euclideano contínuo. A Transformada Discreta de Hartley (DHT) expande a definição para um espaço discreto. A DHT de uma sequência f de n valores é uma sequência do mesmo tamanho, com o k-ésimo elemento dado pela fórmula

$a_{k}\;=\;{\frac {1}{n}}\;\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}f(j)\cdot cas\left({\frac {2\pi j}{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6a)$

onde τ é tamanho do período amostrado. A expressão (6a) é muito similar às transformadas discretas de Fourier (DFT), de cosseno (DCT) e de seno. A sequência original é recuperada pela aplicação da transformada inversa, ou seja, os valores f_k de f são obtidos a partir dos coeficientes a_k pela fórmula:

$f_{k}\;=\;\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}a_{k}\cdot cas\left({\frac {2\pi j}{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6b)$

Perceba-se que a simetria entre a transformada e a inversa é quebrada pelo fator de escalamento 1/n, o que também acontece com a DFT. Poder-se-ia eliminar essa assimetria substituindo esse fator por $1/{\sqrt {n}}$ e introduzindo-o na transformada inversa, mas esse procedimento não é comum. A maioria segue a definição original de Bracewell(2000).

Como a DHT recebe como entrada uma sequência finita de n valores, pressupõe-se que a função sob análise f(t), de onde se originou a sequência f(k), seja periódica, com período igual ou inferior a τ.

As propriedades (2a), (2b) e (3a) também valem para a transformada discreta de Hartley. E, a exemplo de toda transformação discreta, a DHT também está sujeita aos fenômenos de erro de truncamento e serrilhamento (ing. aliasing). Mas a DHT oferece a grande vantagem de não exigir o trabalho com números complexos, o que economiza e simplifica o trabalho. Para um mesmo número de amostras, o cálculo da DHT exige a manipulação de apenas a metade dos valores, quando comparada à DFT, sem que se perca informação com essa simplificação.

A propriedade do valor inicial possui a forma seguinte:

$\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}a_{j}\;=\;f(0)\;\;\;\;\;(6c)$

$\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}f_{j}\;=\;n\cdot a_{0}\;\;\;\;\;(6d)$

onde a_k são os valores da sequência DHT{f(k)} e f_k são os valores da sequência f(k).

A propriedade do deslocamento do eixo, correspondente às equações (3e) e (3f) para a versão contínua, deve ser escrita da forma seguinte:

$b_{k}\;=\;a_{k}\cdot cos\left({\frac {2\pi m}{n\tau }}\right)\;-\;a_{-k}\cdot sin\left({\frac {2\pi m}{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6e)$

onde b_k são os valores da sequência DHT{f(k + m)}, e m é um inteiro entre 0 e n. Na expressão (6e), como se trata de uma convolução cíclica, valores negativos de índices devem ser somados a n de forma a resultar num valor adequado, isto é, um valor na faixa [0,n].

A propriedade da primeira diferença é expressa da forma seguinte:

$b_{k}\;=\;a_{k}\cdot \left[cos\left({\frac {2\pi }{n\tau }}\right)\;-\;1\right]\;-\;a_{\left(n\;-\;{\frac {1}{\tau }}\right)}\cdot sin\left({\frac {2\pi }{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6f)$

onde b_k são os valores da sequência DHT{f(k + 1) - f(k)}.

O teorema de Parseval deve ser escrito da forma seguinte:

$\sum _{j\;=0}^{n\;-\;1}[f(j)]^{2}\;=\;n\cdot a_{k}\cdot \sum _{j\;=0}^{n\;-\;1}[a_{k})]^{2}\;\;\;\;\;(6g)$

Cálculo da DHT

A transformada discreta de Hartley pode ser calculada diretamente a partir da fórmula de definição, mas existem algoritmos otimizados, como a Transformada Rápida de Hartley (FHT, do inglês Fast Hartley Transform). Pela sua relação com as transformadas de Fourier e de cossenos, ela também pode ser computada a partir da DFT, da FFT (Fast Fourier Transform) e de algumas variantes da DCT. Inversamente, a DHT pode ser usada para computar as transformadas discretas de Fourier e de cossenos, além da computação de convoluções discretas.

Transformada de Hartley em duas dimensões

Em aplicações de análise de imagem, pode-se empregar a transformada de Hartley em duas dimensões, ou seja, a transformada de Hartley de uma função f(x,y) de duas variáveis reais independentes. Da mesma forma que no caso unidimensional, existem as versões contínua e discreta da transformada bidimensional.

Transformada bidimensional de Hartley

Essa transformada é definida pela equação

$H(\omega ,\xi )\;=\;{\mathcal {H}}_{2}\{f(x,y)\}\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot {\mbox{cas}}(\omega x\;+\;\xi y)\;dx\;dy\;\;\;\;\;(7a)$

e a inversa por

$f(x,y)\;=\;{\mathcal {H}}_{2}^{-1}\{H(\omega ,\xi )\}\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }H(\omega ,\xi )\cdot {\mbox{cas}}(\omega x\;+\;\xi y)\;d\omega \;d\xi \;\;\;\;\;(7b)$

Existe uma definição similar para a transformada em três dimensões.

Uma variante da transformada bidimensional de Hartley é a transformada CasCas, que utiliza como núcleo a função ${\mbox{cas}}(\omega x)\cdot {\mbox{cas}}(\xi y)$. Essa possibilidade de optar entre dois núcleos também existe para a transformada bidimensional de Fourier, e representa as duas maneiras diferentes de se esquadrinhar um plano.

Transformada discreta bidimensional de Hartley

Uma imagem representada por uma matriz f com m x n valores reais possui uma transformada discreta de Hartley em duas dimensões dada por outra matriz m x n, que é a transformada discreta bidimensional de Hilbert (DHT₂). Os coeficientes a_j,k de tal matriz são valores reais, obtidos dos coeficientes f(j,k) pela fórmula

$a_{j,k}\;=\;{\frac {1}{mn}}\;\sum _{i\;=\;0}^{m\;-\;1}\;\;\ \sum _{l\;=\;0}^{n\;-\;1}f(j,k)\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2\pi i}{m\tau _{m}}}\;+\;{\frac {2\pi l}{n\tau _{n}}}\right)\;\;\;\;\;(7c)$

onde τ_m e τ_n são o tamanho do intervalo amostrado em cada dimensão. A transformada inversa, aplicada à matriz DHT₂, resulta na matriz original f; os coeficientes de f são obtidos dos coeficientes a_j,k pela fórmula

$f(j,k)\;=\;{\frac {1}{mn}}\;\sum _{i\;=\;0}^{m\;-\;1}\;\;\ \sum _{l\;=\;0}^{n\;-\;1}a_{j,k}\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2\pi i}{m\tau _{m}}}\;+\;{\frac {2\pi l}{n\tau _{n}}}\right)\;\;\;\;\;(7d)$

Existem definições similares para transformadas em mais dimensões.

Referências adicionais

• Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems, Proc. IRE 30, 144–150 (1942).
• Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986)
• Bracewell, R. N., Aspects of the Hartley transform, Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
• Millane, R. P., Analytic properties of the Hartley transform, Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).

Ligações externas

• Ralph Vinton Lyon Hartley
• The Hartley Transform, em Wolfram Mathworld