Teorema de Banach-Schauder

Em matemática, o teorema de Banach-Schauder é também conhecido como teorema do mapeamento aberto, ou teorema da aplicação aberta e constitui um dos principais resultados da análise funcional. O teorema recebe o nome em honra aos matemáticos Stefan Banach e Juliusz Schauder.

Enunciado

Seja $\Lambda :X\to Y\,$ um operador linear limitado entre um F-espaço $X\,$ e um espaço linear topológico $Y\,$. Se a imagem $\Lambda (X)\,$ é um conjunto de segunda categoria em $Y\,$ então:

• $\Lambda (X)\,$
• $\Lambda \,$ é uma aplicação aberta
• $Y\,$ é um F-espaço.

Versão em espaços de Banach

• Se $\Lambda :X\to Y\,$ um operador linear limitado sobrejetivo entre dois espaços de Banach então $\Lambda \,$ é aberto;
• Se, além disto, for injetivo, então $\Lambda ^{-1}:Y\to X\,$ é contínuo.

Outro possível enunciado

Sejam $E$ e $F$ espaços de Banach e $T:E\rightarrow F$ linear, limitada e sobrejetora. Então $T$ é uma aplicação aberta.

Esboço da demosntração

Esta será obtida após a prova dos três seguintes passos:

• $\exists \delta >0$ tal que $B(0,\delta )\subseteq {\overline {T[B(0,1)]}}$;
• $\exists \delta >0$ tal que $B(0,\delta )\subseteq T[B(0,1)]$;
• T é aberta

Outras consequências do Teorema de Baire

Este teorema é uma das consequências do teorema de Baire. Outros resultados que são consequências do mesmo:

• Princípio da Limitação Uniforme;
• Teorema do Gráfico Fechado.

Referências

Referências

• BOTELHO, G.; PELLEGRINO, D. Os problemas da base incondicional e do espaço homogêneo. Matemática Universitária. 2006.
• KREYSZIG, Erwin. Introductory functional analysis with applications. New York, 1978.