Teoria dos Conjuntos Kripke-Platek

Os Axiomas de Kripke-Platek da Teoria dos Conjuntos (KP), pronunciado /ˈkrɪpki ˈplɑːtɛk/, é um sistema da teoria axiomática dos conjuntos, baseado nas ideias de Saul Kripke (1964) e Richard Platek (1966).

KP é mais fraco que a teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZFC). Diferentemente de ZFC, KP não inclui o axioma da potência (ou axioma do conjunto das partes), e KP inclui somente formas limitadas do axioma da separação e do axioma da substituição de ZFC. Essas restrições nos axiomas de KP levam a conexões íntimas entre KP, teoria da recursão generalizada, e a teoria dos ordinais admissíveis.

Os axiomas de KP

• Axioma da extensão: Dois conjuntos são o mesmo se e somente se eles têm os mesmos elementos.
• Axioma da indução: Seja φ(a) uma fórmula, se para todos os conjuntos x - a suposição de que φ(y) vale para todos os elementos y de x - acarreta que φ(x) vale, então φ(x) vale para todos os conjuntos x.
• Axioma do conjunto vazio: Existe um conjunto sem nenhum membro, chamado de conjunto vazio e denotado por {}. (Nota: a existência de um membro no universo do discurso, i. e., ∃x(x=x), é implícita em algumas formulações da lógica de primeira ordem, em cada caso o axioma do conjunto vazio segue do axioma da separação, e vice-versa.)
• Axioma do par: Se x, y são conjuntos, então também o é {x, y}, um conjunto contendo x e y como seus únicos elementos.
• Axioma da união: Para qualquer conjunto x, há um conjunto y tal que os elementos de y são precisamente os elementos dos elementos de x.
• Axioma da Σ₀-separação: Dado qualquer conjunto e qualquer fórmula Σ₀ φ(x), existe um subconjunto do conjunto original contendo precisamente os elementos x para os quais φ(x) vale. (Este é um esquema de axioma.)
• Axioma da Σ₀-coleção: Dada qualquer fórmula Σ₀ φ(x, y), se para todo conjunto x existe um conjunto y tal que φ(x, y) vale, então para todos os conjuntos u existe um conjunto v tal que para todo x em u há um y em v tal que φ(x, y) vale.

Uma fórmula Σ₀, ou Π₀, ou Δ₀ é uma fórmula em que todos os quantificadores são limitados. Isto significa que qualquer quantificação é da forma $\forall u\in v$ ou $\exists u\in v.$ (Geralmente, é dito que uma fórmula é Σ_n+1 quando ela é obtida pela adição de quantificadores universais na frente de uma fórmula Π_n, e que é Π_n+1 quando é obtida pela adição de quantificadores universais na frente de uma fórmula Σ_n: isto está relacionado à hierarquia aritmética mas no contexto da teoria dos conjuntos.)

Esses axiomas diferenciam de ZFC tanto que eles excluem os axiomas de: infinidade, conjunto-potência, e escolha. Também os axiomas de separação e coleção aqui são mais fracos que os axiomas correspondentes em ZFC porque as fórmulas φ usadas nesses são limitadas somente a quantificadores delimitados.

O axioma da indução em KP é mais forte que o axioma da regularidade usual (o qual aplica a indução ao complemento de um conjunto (a classe de todos os conjuntos que não estão no conjunto dado)).

Prova de que produtos Cartesianos existem

Teorema: Se A e B são conjuntos, então existe um conjunto A×B que consiste de todos os pares ordenados (a, b) de elementos a de A e b de B.

Prova: {a} = {a, a} existe pelo axioma do par. {a, b} existe pelo axioma do par. Então (a, b) = { {a}, {a, b} } existe pelo axioma do par.

Se p é suposto representar (a, b), então uma fórmula Δ₀ que expressa isso é: $\exists r\in p(a\in r\land \forall x\in r(x=a))\land \exists s\in p(a\in s\land b\in s\land \forall x\in s(x=a\lor x=b))$ and $\forall t\in p((a\in t\land \forall x\in t(x=a))\lor (a\in t\land b\in t\land \forall x\in t(x=a\lor x=b))).$

Além disso um superconjunto de A×{b} = {(a, b) | a em A} existe pelo axioma da coleção.

Abrevie a fórmula acima por $\psi (a,b,p)\!.$ Então $\exists a\in A\psi (a,b,p)$ é Δ₀. Além disso A×{b} existe pelo axioma da separação.

Se v é suposto representar A×{b}, então uma fórmula Δ₀ que expressa isso é: $\forall a\in A\exists p\in v\psi (a,b,p)\land \forall p\in v\exists a\in A\psi (a,b,p).$

Além disso um superconjunto de {A×{b} | b in B} existe pelo axioma da coleção.

Colocando $\exists b\in B$ na frente desta última fórmula nós obtemos do axioma da separação que o conjunto {A×{b} | b in B} existe.

Finalmente, A×B = $\cup${A×{b} | b em B} existe pelo axioma da união. CQD.

Conjuntos Admissíveis

Um conjunto $A\,$ é chamado admissível se ele é transitivo e $\langle A,\in \rangle$ é um modelo da teoria dos conjuntos de Kripke-Platek.

Um número ordinal α é chamado um ordinal admissível se L_α é um conjunto admissível.

O ordinal α é um ordinal admissível se e somente se α é um ordinal limite e não existe um γ<α para o qual há um Σ₁(L_α) mapeando de γ para α. Se M é um modelo canônico de KP, então o conjunto de ordinais em M é um ordinal admissível.

Se L_α é um modelo padrão da teoria dos conjuntos de KP sem o axioma da Σ₀-coleção então ele é dito ser um "conjunto manuseável".

Notas

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Kripke–Platek set theory».

Bibliografia

• Gostanian, Richard (1980). «Constructible Models of Subsystems of ZF». Association for Symbolic Logic. Journal of Symbolic Logic. 45 (2). 237 páginas. JSTOR 2273185. doi:10.2307/2273185 
• Kripke, S. (1964), «Transfinite recursion on admissible ordinals», J. Symbolic logic, 29: 161–162 
• Platek, Richard Alan (1966), Foundations of recursion theory, Thesis (Ph.D.)–Stanford University, MR 2615453