Em matemática a transformada discreta de Mellin é a versão discreta da transformada de Mellin. Em aplicações práticas de Física e Engenharia, em particular a análise de sinais, ela é mais útil que a versão contínua, porque se presta melhor ao processamento digital.
Uma transformada discreta se aplica a uma sequência de n valores f(k), com n e k inteiros positivos; essa sequência é normalmente obtida de um sinal contínuo, que é expresso por uma função contínuaf(t), por meio de um processo de discretização adequado. Além da discretização, às vezes é também necessário limitar o suporte das funções de entrada e de saída.
A transformada discreta de Mellin é uma relação linear, expressa pela equação abaixo, entre os coeficientes fk da sequência de entrada f(k) e os coeficientes Fk da sequência de saída F(k):
onde o operador denota o processo de discretização, que determinará também os valores adequados para a, b, r e m em função do número de amostras n e dos intervalos de definição de f(k) e de Fk.
A função definida por (1a) é periódica, com período τ = . As fórmulas podem ser calculadas de forma computacionalmente econômica com auxílio de algoritmos como a transformada rápida de Fourier (FFT) ou variações desta, o que favorece o seu uso em aplicações práticas (ver exemplo abaixo)[1].
onde o operador ∨ denota a convolução de Mellin. Aplicando-se a transformada inversa, decorre imediatamente a propriedade
A interpretação geométrica da equação (2b) é que a sequência f(k) é idêntica à somatória de infinitas versões da função original f(ν), cada uma sofrendo uma dilatação diferente. Por isso, f(k) é chamada a forma dilatocíclica (ing. dilatocycled form) de f(ν) com razão a. Para evitar a confusão com outras formas, a partir deste ponto essa será denotada por fd(a,k). Essa função é periódica com período τa = .
A equação (2b) pode ser entendida como uma condição de existência da transformada discreta de Mellin (e da possibilidade da inversão): se o suporte da função de entrada f(ν) for o intervalo [ν1,ν2], é preciso escolher o valor de a tal que para que fd(a,k) possua o mesmo suporte.
Em aplicações práticas, apenas a discretização mostrada em (2a) é insuficiente. Como é preciso trabalhar com um suporte finito, é preciso que a função F(β) seja periódica, de forma que toda a informação esteja concentrada em um intervalo [β1,β2]. Isso se consegue por meio da amostragem da função de entrada f(ν) por meio do produto invariante com o pente geométrico de Dirac:
onde fg(b, ν) é chamada a forma amostrada geometricamente (ing. geometrically sampled form) de f(ν). A transformada dual de Mellin de fg(b, ν) será
O resultado é uma função periódica com período τb = . O período deve ser maior que o suporte de F(β), portanto .
A aplicação de ambos os processos acima leva à definição da transformada discreta de Mellin, como resumido abaixo.
A transformada discreta de Mellin de uma sequência de valores f(k) é dada pela expressão (2e), que é uma combinação de (2a) e (2d). A sequência f(k) é obtida de uma função contínua f(ν) por meio dos processos sucessivos de dilatação cíclica e de amostragem geométrica, denotados pelo operador e descritos pelas equações (2b) e (2c), com parâmetros a e b que devem ser escolhidos de acordo com a extensão do suporte das funções f(ν) e sua transformada dual de Mellin. Além disso, faz-se a = bn, onde n é o número de amostras a ser trabalhado, para assegurar a periodicidade do resultado; com isso, o período resultante é τb = , isto é, um múltiplo de τa.
A equação (2e) expressa os coeficientes Fk em função da versão contínua da transformada. Uma fórmula em função dos coeficientes fk da sequência de entrada é obtida a partir da fórmula de definição da transformada dual de Mellin
que deve produzir o mesmo resultado de (2e). Isso resulta em
que é uma função periódica com período = τb. Por inspeção, obtemos
que são os coeficientes da expansão em séries de Fourier de . Isso permite o cálculo da fórmula (1a) pelas técnicas usuais relacionadas a essas séries, e também da transformada inversa
onde o símbolo * indica o conjugado complexo e a função φ(t) é a chamada "wavelet-mãe". A versão discreta será representada pela mesma equação, por simplicidade. O material que se segue aplica-se às versões discretas das transformadas, apesar de estar sendo usada a notação correspondente às versões contínuas.
Não se conhece algoritmo de baixa complexidade computacional para o cálculo da equação (3a), devido à multiplicidade de formas que a wavelet pode assumir.
Aplicando as conhecidas propriedades de escalamento e deslocamento, temos
onde F(ω) e Φ(ω) são as transformadas de f(t) e φ(t), respectivamente. Como a função f(t) é real, vale a propriedade adicional F(-ω) = F*(-ω) e podemos escrever
O cálculo da equação (3b) é dificultado pela presença da dilatação em Ψ(aω). O emprego de algoritmos como a FFT nesse caso usualmente requer oversampling e interpolações.
Aplicando a (3b) a versão do teorema de Parseval para a transformada dual de Mellin, com r = -½, temos
Considerando a > 0, que é a situação usual, e aplicando a propriedade do escalamento, teremos finalmente
A equação (3c) não apresenta mais a dilatação e pode ser calculada por meio de algoritmos rápidos para cálculo das transformadas de Fourier e de Mellin. A complexidade computacional é igual a (2m+1) vezes a complexidade da FFT para um número de amostras igual a 2n, onde n e m são as dimensões da grade de discretização das variáveis a e b[2]..
Referências
↑ abcJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - The Mellin Transformin A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 11, pp. 993 a 999
↑J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 1007 a 1008