Álgebra booliana

Em álgebra abstrata, álgebras boolianas^{[nota 1]} (ou álgebras de Boole) são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos, ou ainda oferecem uma estrutura para se lidar com "afirmações",^[1] são assim denominadas em homenagem ao matemático George Boole.^[2]

História

O termo "álgebra booliana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.^[3] A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi em 1898 na Universal Algebra de Whitehead.^[4]^[5]

Definição

Uma álgebra booliana é uma 6-upla $(X,\vee ,\wedge ,\neg ,0,1)$ consistindo de um conjunto $X$ munido de duas operações binárias $\vee$ (também denotado por $+$ , é geralmente chamado de "ou") e $\wedge$ (também denotado por $\ast$ ou por $\cdot$ , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária $\neg$ (também denotada por $\sim$ ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes $0$ (também denotada por $\bot$ ou por $F$ , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e $1$ (também denotada por $\top$ ou por $V$ , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer $a,b,c\in X$ :

Propriedades Associativas	$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$	$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$
Propriedades Comutativas	$a\vee b=b\vee a$	$a\wedge b=b\wedge a$
Propriedades Absortivas	$a\wedge (a\vee b)=a$	$a\vee (a\wedge b)=a$
Propriedades Distributivas	$a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)$	$a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$
Elementos Neutros	$a\vee 0=a$	$a\wedge 1=a$
Elementos Complementares	$a\vee \neg a=1$	$a\wedge \neg a=0$

Alguns autores também incluem a propriedade $0\neq 1$ , para evitar a álgebra booliana com somente um elemento.

Exemplos

O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto $\{0,1\}$ munido das seguintes operações:

$\vee$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$\wedge$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

$\neg$	$0$	$1$
	$1$	$0$

Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto $\{0,1,?\}$ (o elemento $?$ é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:

$\vee$	$0$	$1$	$?$
$0$	$0$	$1$	$?$
$1$	$1$	$1$	$1$
$?$	$?$	$1$	$?$

$\wedge$	$0$	$1$	$?$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$?$
$?$	$0$	$?$	$?$

$\neg$	$0$	$1$	$?$
	$1$	$0$	$?$

Dado um conjunto $A$ , o conjunto ${\mathcal {P}}(A)$ das partes de $A$ munido das operações $a\vee b=a\cup b$ , $a\wedge b=a\cap b$ , $\neg a=A\setminus a$ , e onde $0=\varnothing$ e $1=A$ , é uma álgebra booliana.
O intervalo $[0,1]$ munido das operações $a\vee b=\mathrm {max} \{a,b\}$ , $a\wedge b=\mathrm {min} \{a,b\}$ , e $\neg a=1-a$ , é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.

Teoremas

Dado uma álgebra booliana sobre $X$ , são válidos para quaisquer $a,b\in X$ :

Propriedades Idempotentes

$a\vee a=a$
$a\wedge a=a$

Dupla Negação

$\neg (\neg a)=a$

Leis de De Morgan

$\neg (a\vee b)=\neg a\wedge \neg b$
$\neg (a\wedge b)=\neg a\vee \neg b$

Leis de Absorção

$a\vee (a\wedge b)=a$
$a\wedge (a\vee b)=a$

Elementos Absorventes

$a\vee 1=1$
$a\wedge 0=0$

Negações do Zero e do Um

$\neg 0=1$
$\neg 1=0$

Definições alternativas da operação binária $\veebar$ (também denotado por $\oplus$ , é geralmente chamado de "xor" ou de "ou exclusivo")

$a\veebar b=(a\vee b)\wedge (\neg a\vee \neg b)$
$a\veebar b=(a\wedge \neg b)\vee (\neg a\wedge b)$

Ordem

Dado uma álgebra booliana sobre $X$ , é válido para quaisquer $a,b\in X$ :

$a\vee b=b$ se e somente se $a\wedge b=a$

A relação $\leq$ definida como $a\leq b$ se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em $X$ . O supremo e o ínfimo do conjunto $\{a,b\}$ são $a\vee b$ e $a\wedge b$ , respectivamente.

Homomorfismos e isomorfismos

Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas $A$ e $B$ é uma função $f:A\to B$ que para quaisquer $a,b\in A$ :

$f(a\vee b)=f(a)\vee f(b)$
$f(a\wedge b)=f(a)\wedge f(b)$
$f(0)=0$
$f(1)=1$

Uma consequência é que $f(\neg a)=\neg f(a)$ .

Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas $A$ e $B$ é um homomorfismo bijetor entre $A$ e $B$ . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre $A$ e $B$ , dizemos que $A$ e $B$ são isomorfos.

Ver também

Notas e referências

Notas

↑ O Acordo Ortográfico de 1990 prescreve, na Base V, item 2c: Escrevem-se com i, e não com e, antes da sílaba tónica/tônica, os adjetivos e substantivos derivados em que entram os sufixos mistos de formação vernácula -iano e -iense, os quais são o resultado da combinação dos sufixos -ano e -ense com um i de origem analógica (baseado em palavras onde -ano e -ense estão precedidos de i pertencente ao tema: horaciano, italiano, duriense, flaviense, etc.): açoriano, acriano (de Acre), camoniano, goisiano (relativo a Damião de Góis), siniense (de Sines), sofocliano, torriano, torriense [de Torre(s)]. É precisamente o caso de booliano(a), que antes do Acordo se grafava com e

Referências

↑ Edward R. Scheinerman. Matemática Discreta - Uma Introdução. Cengage Learning Editores; 2003. ISBN 978-85-221-0291-4. p. 27.
↑ Seymour Lipschutz; Marc Lipson. Matemática Discreta: Coleção Schaum. Bookman; 2004. ISBN 978-85-363-0361-1. p. 454.
↑ Hélio Augusto Godoy de Souza. Documentario, Realidade E Semiose. Annablume; 2002. ISBN 978-85-7419-224-6. p. 198.
↑ CAIO AUGUSTUS MORAIS BOLZANI. Residências Inteligentes. Editora Livraria da Fisica; 2004. ISBN 978-85-88325-25-8. p. 45.
↑ Linda Null; Julia Lobur. Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores. Bookman; ISBN 978-85-7780-766-6. p. 140.

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[1] O Acordo Ortográfico de 1990 prescreve, na Base V, item 2c: Escrevem-se com i, e não com e, antes da sílaba tónica/tônica, os adjetivos e substantivos derivados em que entram os sufixos mistos de formação vernácula -iano e -iense, os quais são o resultado da combinação dos sufixos -ano e -ense com um i de origem analógica (baseado em palavras onde -ano e -ense estão precedidos de i pertencente ao tema: horaciano, italiano, duriense, flaviense, etc.): açoriano, acriano (de Acre), camoniano, goisiano (relativo a Damião de Góis), siniense (de Sines), sofocliano, torriano, torriense [de Torre(s)]. É precisamente o caso de booliano(a), que antes do Acordo se grafava com e

[Scheinerman2003-2] Edward R. Scheinerman. Matemática Discreta - Uma Introdução. Cengage Learning Editores; 2003. ISBN 978-85-221-0291-4. p. 27.

[LipschutzLipson2004-3] Seymour Lipschutz; Marc Lipson. Matemática Discreta: Coleção Schaum. Bookman; 2004. ISBN 978-85-363-0361-1. p. 454.

[Souza2002-4] Hélio Augusto Godoy de Souza. Documentario, Realidade E Semiose. Annablume; 2002. ISBN 978-85-7419-224-6. p. 198.

[BOLZANI2004-5] CAIO AUGUSTUS MORAIS BOLZANI. Residências Inteligentes. Editora Livraria da Fisica; 2004. ISBN 978-85-88325-25-8. p. 45.

[NullLobur-6] Linda Null; Julia Lobur. Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores. Bookman; ISBN 978-85-7780-766-6. p. 140.

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