Círculo unitário

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Na matemática, um círculo unitário é um círculo de raio unitário — isto é, um raio de 1.^[1] Frequentemente, especialmente na trigonometria, o círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem (0, 0) no sistema de coordenadas cartesianas no plano euclidiano. Em topologia, é frequentemente denotado como $S 1$ porque é uma $n$ -esfera unitária unidimensional.^[2]^{[note 1]}

Animação do ato de desenrolar a circunferência de um círculo unitário, um círculo com raio 1. Como $C = 2 πr$ , a circunferência de um círculo unitário é $2π$ .

Se $(x, y)$ é um ponto na circunferência do círculo unitário, então $| x |$ e $| y |$ são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 1. Assim, pelo teorema de Pitágoras, $x$ e $y$ satisfazem a equação $x^{2}+y^{2}=1$

Como $x 2 = (- x) 2$ para todo $x$ , e como a reflexão de qualquer ponto no círculo unitário sobre o eixo $x$ ou $y$ também está no círculo unitário, a equação acima vale para todos os pontos $(x, y)$ no círculo unitário, não apenas aqueles no primeiro quadrante.

O interior do círculo unitário é chamado de disco unitário aberto, enquanto o interior do círculo unitário combinado com o próprio círculo unitário é chamado de disco unitário fechado.

Pode-se também usar outras noções de "distância" para definir outros "círculos unitários", como o círculo Riemanniano; veja o artigo sobre normas matemáticas para exemplos adicionais.

No plano complexo

Animação do círculo unitário com ângulos

No plano complexo, números de magnitude unitária são chamados de números unitários complexos. Este é o conjunto de números complexos $z$ tais que $|z|=1$ . Quando dividido em componentes reais e imaginários $z=x+iy$ , esta condição é $|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1$ .

O círculo unitário complexo pode ser parametrizado pela medida do ângulo $\theta$ do eixo real positivo usando a função exponencial complexa, $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta$ . (Veja o artigo Fórmula de Euler.)

Sob a operação de multiplicação complexa, os números unitários complexos formam um grupo chamado grupo circular, geralmente denotado $\mathbb {T}$ . Na mecânica quântica, um número unitário complexo é chamado de fator de fase.

Funções trigonométricas no círculo unitário

Todas as funções trigonométricas do ângulo

θ

(teta) podem ser construídas geometricamente em termos de um círculo unitário centrado em O.

Função seno no círculo unitário (acima) e seu gráfico (abaixo)

As funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo $θ$ podem ser definidas no círculo unitário da seguinte forma: Se $(x, y)$ for um ponto no círculo unitário, e se o raio da origem $(0, 0)$ para $(x, y)$ fizer um ângulo $θ$ a partir do eixo $x$ positivo (onde o giro no sentido anti-horário é positivo), então $\cos \theta =x\quad {\text{e}}\quad \operatorname {sen} \theta =y$ A equação $x 2 + y 2 = 1$ fornece a relação $\cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1$ O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades $\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )$ $\operatorname {sen} \theta =\operatorname {sen}(2\pi k+\theta )$ para qualquer inteiro $k$ .

Triângulos construídos no círculo unitário também podem ser usados para ilustrar a periodicidade das funções trigonométricas. Primeiro, construa um raio $OP$ da origem $O$ até um ponto $P(x 1, y 1)$ no círculo unitário de modo que um ângulo $t$ com $0 < t < π 2$ seja formado com o braço positivo do eixo $x$ . Agora considere um ponto $Q(x 1,0)$ e segmentos de reta $PQ ⊥ OQ$ . O resultado é um triângulo retângulo $△OPQ$ com $∠QOP = t$ . Como $PQ$ tem comprimento $y 1$ , $OQ$ comprimento $x 1$ e $OP$ tem comprimento 1 como um raio no círculo unitário, $sen(t) = y 1$ e $cos(t) = x 1$ . Tendo estabelecido essas equivalências, pegue outro raio $OR$ da origem até um ponto $R(- x 1, y 1)$ no círculo de modo que o mesmo ângulo $t$ seja formado com o braço negativo do eixo $x$ . Agora considere um ponto $S(- x 1,0)$ e segmentos de reta $RS ⊥ OS$ . O resultado é um triângulo retângulo $△ORS$ com $∠SOR = t$ . Pode-se ver, portanto, que, como $∠ROQ = π - t$ , $R$ está em $(cos(π - t), sen(π - t))$ da mesma forma que P está em $(cos(t), sen(t))$ . A conclusão é que, como $(- x 1, y 1)$ é o mesmo que $(cos(π - t), sen(π - t))$ e $(x 1, y 1)$ é o mesmo que $(cos(t),sen(t))$ , é verdade que $sen(t) = sen(π - t)$ e $-cos(t) = cos(π - t)$ . Pode ser inferido de forma similar que $tan(π - t) = -tan(t)$ , já que $tan(t) = y 1 x 1$ e $tan(π - t) = y 1 - x 1$ . Uma demonstração simples do acima pode ser vista na igualdade $sen(π 4) = sen(3π 4) = 1 \sqrt 2$ .

Ao trabalhar com triângulos retângulos, seno, cosseno e outras funções trigonométricas só fazem sentido para medidas de ângulo maiores que zero e menores que ⁠ $π$ 2. Entretanto, quando definidas com o círculo unitário, essas funções produzem valores significativos para qualquer medida de ângulo de valor real – mesmo aquelas maiores que 2 $π$ . Na verdade, todas as seis funções trigonométricas padrão – seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, bem como funções arcaicas como seno verso (verseno) e secante externa (exsecante) – podem ser definidas geometricamente em termos de um círculo unitário, como mostrado à direita.

Usando o círculo unitário, os valores de qualquer função trigonométrica para muitos ângulos diferentes daqueles rotulados podem ser facilmente calculados manualmente usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos.

O círculo unitário, mostrando coordenadas de certos pontos

Dinâmica complexa

Círculo unitário em dinâmica complexa

O conjunto de Julia de sistema dinâmico que não é linear, discreto, com função de evolução: $f_{0}(x)=x^{2}$ é um círculo unitário. É um caso mais simples, por isso é amplamente utilizado no estudo de sistemas dinâmicos.

Ver também

Nota

↑ Para uma discussão mais aprofundada, veja a distinção técnica entre um círculo e um disco.^[2]

Referências

↑ Weisstein, Eric W. «Unit Circle». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 5 de maio de 2020
↑ ^a ^b Weisstein, Eric W. «Hypersphere». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 6 de maio de 2020

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[3] Para uma discussão mais aprofundada, veja a distinção técnica entre um círculo e um disco.^[2]

[1] Weisstein, Eric W. «Unit Circle». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 5 de maio de 2020

[Unit_sphere-2] Weisstein, Eric W. «Hypersphere». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 6 de maio de 2020

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[2]

[note 1]