Conexão de Levi-Civita

Em geometria diferencial, numa variedade Riemanniana, há uma conexão canônica chamada conexão de Levi-Civita, por vezes, também conhecida como derivada covariante. Como uma conexão no fibrado tangente, a conexão de Levi-Civita fornece um método bem definido para diferenciar campos vetoriais, formulários ou qualquer outro tipo de tensor. O teorema que afirma a existência da conexão de Levi-Civita é chamado: Teorema fundamental da geometria riemanniana.

História

No começo da geometria diferencial surgiram com Gauss diversos conceitos geométricos importantes que foram generalizados por muitos matemáticos, destacando-se entre eles Georg Friedrich Bernhard Riemann, o fundador da chamada geometria riemanniana, de onde surgiram os objetos matemáticos "conexão" e "curvatura". O conceito de conexão surgiu dos trabalhos de Elwin Bruno Christoffel com a criação da chamada conexão de Christoffel. Posteriormente, as conexões foram estudadas por Tullio Levi-Civita que demonstrou a existência da conexão de Levi-Civita. Além disso, Levi-Civita explorou a relação entre o transporte paralelo e a curvatura para desenvolver a noção moderna de holonomia.

Prova

Sejam V,W campos de vetores numa variedade semi-Riemanniana, em cada ponto p ∈ M queremos calcular taxa de variação de W na direção de V_p. Isso pode ser feito naturalmente em $\mathbb {R} \,$ⁿ como a derivação de um campo com relação ao outro. No contexto de variedades, devemos introduzir o conceito de conexão.