Convergência uniforme

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição

Como comparação, uma sequência de funções $f_{n}(x):S\rightarrow \mathbb {R} \,$ converge pontualmente para uma função $f:S\rightarrow \mathbb {R} \,$ se, e somente se:

$\forall \varepsilon >0{\text{ e }}\forall x\in S\ \ \exists N\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\forall n>N{\text{ temos que }}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \,$.

A sequência converge uniformemente quando:

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\forall x\in S{\text{ e }}\forall n>N{\text{ temos que }}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \,$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $\varepsilon \,$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $\varepsilon \,$ um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções ${\textstyle \phi :S\rightarrow \mathbb {R} \,}$ que são limitadas, que designaremos por ${\textstyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}$. Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais ${\mathcal {F}}(S,\mathbb {R)}$). Através da relação $\lVert \phi \rVert _{\infty }=\sup\{|\phi (x)|:x\in S\}$ definimos uma aplicação $\phi \mapsto \lVert \phi \rVert$ de ${\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})$ em $\mathbb {R}$ que constitui uma norma em ${\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})$ e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma, ${\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})$ é um espaço de Banach (p.170).

De notar que se $f_{n}$ é uma sucessão de funções em ${\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})$ que converge uniformemente para $f$, então também $f\in {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})$. Basta ter em conta que para cada $x\in S$ e cada $k\in \mathbb {N}$, ${\textstyle |f(x)|\leqslant |f(x)-f_{k}(x)|+|f_{k}(x)|}$. Fixando $k$ arbitrariamente, resulta então, para qualquer $x\in S$ que ${\textstyle |f(x)|\leqslant \lVert f-f_{k}\rVert _{\infty }+\lVert f_{k}\rVert _{\infty }}$. Logo $f$ é limitada em $S$.

Continuidade

Tomemos agora $S$, não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer.

• Seja $f_{n}:S\rightarrow \mathbb {R}$ uma sucessão de funções contínuas em $c\in S$ que converge uniformemente para $f$ em $S.$ Então $f$ é contínua em $c$ (p 132).
• A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.

Se $S$ for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado $[a,b]$, uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em (p.211).

Teorema (de Dini)

Se $f_{n}:S\rightarrow \mathbb {R}$ uma sucessão de funções contínuas em $S$ que em cada ponto de $x\in S$ cresce (ou decresce) para $f(x)$ e $f$ é também contínua em $S$, então $f_{n}$ converge unformemente para $f$ em $S$.

Para o caso de ser $S=[a,b]$, uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo.

Diferenciabilidade

Seja $S=I\subset \mathbb {R}$ um intervalo da reta real.

• Observe no entanto que a diferenciabilidade não é preservada, podendo uma seqüência de funções deriváveis convergir uniformemente para uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. Um exemplo desta patologia (matemática) é a construção da função de Weierstrass. De fato, qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por funções suaves, veja teorema de Stone-Weierstrass.

• Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:

$f_{n}(x)={\frac {\sin nx}{\sqrt {n}}}\,$

cujas derivadas são:

$f_{n}'(x)={\sqrt {n}}\cos nx\,$

Que $f_{n}(x)\,$ converge uniformemente para zero é fácil ver pois $|f_{n}(x)|<{\frac {1}{\sqrt {n}}}\,$. Podemos provar que não existe um $x\,$ tal que $f_{n}'(x)\,$ é limitado. Para tal, suponha que exista tal $x\,$, como ${\sqrt {n}}\to \infty \,$, $\cos(nx)\to 0\,$ e portanto existe um $N>0\,$ com a propriedade:

$n>N\Longleftarrow |\cos(nx)|<{\frac {1}{2}}\,$, mas então:

$|\cos(2nx)|=|2cos^{2}nx-1|=1-2cos^{2}nx>{\frac {1}{2}}\,$, o que contradiz a convergência.

• Pode acontecer de $f_{n}(x)\,$ convergir uniformemente e $f_{n}'(x)\,$ pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:

$f_{n}(x)={\frac {x}{1+n^{2}x^{2}}},x\in [-1,1]$

Como $|f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2n}}\,$, $f_{n}\,$ converge uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

$\lim _{n\to \infty }f_{n}'(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-n^{2}x^{2}}{\left(1+n^{2}x^{2}\right)^{2}}}=\left\{{\begin{array}{lr}1,~~x=0\\0,~~x\neq 0\end{array}}\right.\,$

• Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Convergência uniforme e integrais

Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em ${\mathcal {B([a,b],\mathbb {R} }})$e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.

Exemplo 1

Designemos por $q_{1},q_{2},...,q_{n},...$, a sucessões dos racionais no intervalo $[0,1]$ e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de:

$f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x\in \{q_{1},...,q_{n}\}\\0,&{\text{se }}x\in [0,1]\setminus \{q_{1},...,q_{n}\}.\end{cases}}$

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada $x\in [0,1]$, a correspondente função limite $f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ é a função de Dirichlet

$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x\in \mathbb {Q} \\0,&{\text{se }}x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} ,\end{cases}}$

a qual como é conhecido não é integrável à Riemann.

Por outro lado, $\lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|:x\in [a,b]\}=1$, qualquer que seja $n\in \mathbb {N}$. Logo a convergência não é uniforme, mas apenas pontual.

Exemplo 2

Seja

$f_{n}(x)={\begin{cases}1+x+...+x^{n},&{\text{se }}x\in [0,1[,\\0,&{\text{se }}x=1.\end{cases}}$

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em $[0,1]$ ($0\leq f_{n}(x)\leq n$, para cada $x\in [0,1]$) com apenas uma descontinuidade em $x=1$, consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por

$f_{n}(x)={\begin{cases}1/(1-x),&{\text{se }}x\in [0,1[,\\0,&{\text{se }}x=1,\end{cases}}$

a qual nem sequer é limitada, não podendo portanto haver convergência uniforme.

Exemplo 3

Mas para $f_{n}(x)=x/n$, com $x$ em $[0,1]$, temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo

$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}{\frac {x}{n}}dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n}}=0.$

Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois

$\lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }=\sup\{{\frac {x}{n}}:x\in [0,1]\}={\frac {1}{n}}\rightarrow 0$.

Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula

$\int _{a}^{b}(\lim _{n\to \infty }f_{n})(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x.$

Precisamente, o que sucede neste exemplo e não sucede nos outros, é que há convergência uniforme da sucessão de funções $f_{n}$ para a função limite $f$. Na verdade, é válido o teorema seguinte.

Teorema 1 (da Convergência Uniforme)

Seja $f_{n}(x)$ uma sucessão de funções integráveis em $[a,b]$, convergindo uniformemente para $f(x)\,$. Isto é, $f_{n}$ é uma sucessão em ${\mathcal {B([a,b],\mathbb {R} }})$ tal que $\lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }\rightarrow 0$. Então $f\,$ é integrável em $[a,b]$ e:

$\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x\to \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.

Para o integral de Rieman temos de mostrar que o conjunto $D$, das descontinuidades de $f$, tem medida de Lebesgue nula. Observemos que se $D_{n}$ for o conjunto das descontinuidades de $f_{n}$, como a convergência uniforme conserva a continuidade, temos que ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }([a,b]\setminus D_{n})\subset [a,b]\setminus D}$. Logo ${\textstyle D\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$. Tendo o conjunto da direita, por via da integrabilidade à Riemann de cada função $f_{n}$, medida de Lebesgue nula, o mesmo sucede a $D$. Logo $f$ é integrável à Riemann.

Por outro lado, a diferença

$|\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x|\leq \int _{a}^{b}|f_{n}(x)-f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }(b-a)$

pelo que

$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Este argumento é válido para os dois integrais.

Ver também

• Convergência pontual
• Norma do supremo
• Espaço de Hölder