Espaço $L p$

Em matemática, sobretudo na teoria da medida e na análise funcional, os espaços $L^{p}$ são um dos mais importantes espaços funcionais.

Definição

Seja $f:D\to \mathbb {C} \,$ uma função mensurável à Lebesgue definida em domínio $D\,$ mensurável.

Se $p\in [1,\infty )\,$ , $f\,$ é dita p-integrável e pertence ao espaço L^p se sua norma L^p for finita:

\|f\|_{L^{p}(D)}=\left(\int _{D}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}

.

Se $p=\infty \,$ , $f\,$ é dita essencialmente limitada e pertence ao espaço $L^{\infty }\,$ se existir uma constante $C\,$ real tal que:

\mu \{x\in D:|f|>C\}=0\,

, ou seja,

|f|\leq C\,

A norma $\|f\|_{L^{\infty }(D)}\,$ é a menor das contantes com a propriedade acima, ou seja:

\|f\|_{L^{\infty }(D)}=\inf\{C:\mu \{|f(x)|>C\}=0\}\,

.

Se as funções em um espaço de Banach são identificadas apenas quase sempre, então as normas estão bem definidas através da desigualdade de Minkowski.

O espaço $L^{2}(D)\,$ é um espaço de Hilbert dotado do seguinte produto interno:

\langle f,g\rangle =\int _{D}{\overline {f(x)}}{g}(x)dx\,

.

As funções deste espaço são chamadas de quadrado integráveis e assumem um papel fundamental na teoria das séries de Fourier.