Matriz hermitiana

Em matemática, sobretudo na álgebra linear, uma matriz auto-adjunta, hermitiana ^{(português brasileiro)} ou hermítica ^{(português europeu)} é uma matriz quadrada complexa que é igual à sua própria transposta conjugada - ou seja, o elemento na $i$ -ésima linha e $j$ -ésima coluna é igual ao conjugado complexo do elemento na $j$ -ésima linha e $i$ -ésima coluna, para todos os índices $i$ e $j$ : $A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$

ou em forma de matriz: $A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.$

Matrizes hermitianas podem ser entendidas como a extensão complexa das matrizes simétricas reais.

Se a conjugada transposta de uma matriz $A$ for indicada por $A^{\mathsf {H}},$ a propriedade hermitiana pode ser escrita de forma concisa como $A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}$

As matrizes hermitianas recebem este nome em homenagem a Charles Hermite, que demonstrou em 1855 que matrizes desse tipo compartilham uma propriedade com matrizes simétricas reais de sempre ter autovalores reais. Outras notações equivalentes de uso comum são $A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },$ no entanto observe que na mecânica quântica, $A^{\ast }$ tipicamente significa apenas a conjugada complexa, e não a transposta da conjugada .

Caracterizações alternativas

As matrizes hermitianas podem ser caracterizadas de várias maneiras equivalentes, algumas das quais estão listadas abaixo:

Igualdade com a adjunta

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for igual à sua adjunta, ou seja, satisfizer $\langle w,Av\rangle =\langle Aw,v\rangle ,$ para qualquer par de vetores $v,w,$ em que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ denota a operação de produto interno .

Também é assim que o conceito mais geral de operador autoadjunto é definido.

Realidade de formas quadráticas

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for tal que $\langle v,Av\rangle \in \mathbb {R} ,\quad v\in V.$

Propriedades espectrais

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for unitariamente diagonalizável com autovalores reais.

Aplicações

As matrizes hermitianas são fundamentais para a teoria quântica da mecânica matricial criada por Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan em 1925.

Exemplos

Nesta seção, a transposta conjugada da matriz $A$ é indicada por $A^{\mathsf {H}},$ a transposta da matriz $A$ é indicada por $A^{\mathsf {T}}$ e a conjugada da matriz $A$ é indicada por ${\overline {A}}.$

Considere o seguinte exemplo:

${\begin{bmatrix}2&2+i&4\\2-i&3&i\\4&-i&1\\\end{bmatrix}}$

Os elementos diagonais devem ser reais, pois precisam coincidir com seus próprios conjugados complexos.

Entre as famílias bem conhecidas de matrizes hermitianas estão as matrizes de Pauli, as matrizes de Gell-Mann e suas generalizações. Na física teórica, tais matrizes hermitianas são frequentemente multiplicadas por coeficientes imaginários,^[1] ^[2] resultando em matrizes skew-hermitianas.

Aqui, é oferecida outra matriz hermitiana útil usando um exemplo abstrato. Se uma matriz quadrada $A$ é igual ao produto de uma matriz por sua transposta conjugada, ou seja, $A=BB^{\mathsf {H}},$ então $A$ é uma matriz semi-definida positiva hermitiana. Além disso, se $B$ tem posto completo por linhas, então $A$ é definida positiva.

Propriedades

As entradas na diagonal principal (do canto superior esquerdo para o inferior direito) de qualquer matriz hermitiana são reais .
Prova: pela definição de matriz hermitiana, $H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$

Assim, para $i = j$ segue-se a afirmação anterior.

Somente as principais entradas diagonais são necessariamente reais; As matrizes hermitianas podem ter entradas complexas arbitrárias em seus elementos fora da diagonal, desde que as entradas diagonalmente opostas sejam conjugadas complexas.
Uma matriz que possui apenas entradas reais é hermitiana se e somente se é simétrica. Uma matriz real e simétrica é simplesmente um caso especial de uma matriz hermitiana.
Prova: $H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$ por definição. Portanto, $H_{ij}=H_{ji}$ (simetria da matriz) se e somente se $H_{ij}={\overline {H}}_{ij}$ ( $H_{ij}$ é real).
Toda matriz hermitiana é uma matriz normal. Isto significa que $AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.$
Prova: $A=A^{\mathsf {H}},$ então $AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.$
O teorema espectral em dimensão finita diz que qualquer matriz hermitiana pode ser diagonalizada por uma matriz unitária e que a matriz diagonal resultante tem apenas entradas reais. Isso implica que todos os autovalores de uma matriz hermitiana $A$ com dimensão $n$ são reais e que $A$ possui $n$ autovetores linearmente independentes. Além disso, uma matriz hermitiana tem autovetores ortogonais para autovalores distintos. Mesmo que existam autovalores degenerados, sempre é possível encontrar uma base ortogonal de $ℂ n$ consistindo em $n$ autovetores de $A$ .
A soma de quaisquer duas matrizes hermitianas é hermitiana.
Prova: $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},$ como afirmado.
A inversa de uma matriz hermitiana invertível também é hermitiana.
Prova: Se $A^{-1}A=I,$ então $I=I^{\mathsf {H}}=(A^{-1}A)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}(A^{-1})^{\mathsf {H}}=A(A^{-1})^{\mathsf {H}},$ de modo que $A^{-1}=(A^{-1})^{\mathsf {H}}$ como afirmado.
O produto de duas matrizes hermitianas $A$ e $B$ é hermitiano se, e somente se, $AB = BA$ .
Prova: Observe que $(AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.$ portanto $(AB)^{\mathsf {H}}=AB$ se e somente se $AB=BA.$

Consequentemente, $A n$ é hermitiana se $A$ é hermitiana e $n$ é um número inteiro.
Para um vetor a valores complexos arbitrário $v$ , o produto $v^{\mathsf {H}}Av$ é real, dado que $v^{\mathsf {H}}Av=\left(v^{\mathsf {H}}Av\right)^{\mathsf {H}}.$ Isso é especialmente importante em física quântica, onde as matrizes hermitianas representam operadores que medem propriedades de um sistema, por exemplo, rotação total, que precisam ser reais.
As matrizes hermitianas complexas $n$ por $n$ não formam um espaço vectorial sobre os números complexos, $ℂ$ , uma vez que a matriz identidade $I n$ é hermitiana, mas $i I n$ não é. No entanto as matrizes hermitianas complexas formam um espaço vetorial sobre os números reais, $ℝ$ . No espaço vectorial de dimensão $2 n 2$ das matrizes complexas $n \times n$ sobre $ℝ$ , as matrizes complexas hermitianas formam um subespaço de dimensão $n 2$ . Se $E jk$ indica a matriz $n$ por $n$ com um $1$ na posição $j, k$ e zeros nas demais entradas, uma base (ortonormal em relação ao produto interno de Frobenius) pode ser descrita como se segue: $E_{jj}{\text{ para }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrizes}})$
juntamente com o conjunto de matrizes da forma ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ para }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrizes}}\right)$

e as matrizes ${\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ para }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrizes}}\right)$

em que $i$ denota o número complexo ${\sqrt {-1}},$ chamado de unidade imaginária .
Se $n$ autovetores ortonormais $u_{1},\dots ,u_{n}$ de uma matriz hermitiana forem escolhidos e escritos como as colunas da matriz $U$ , então uma decomposição em autovalores de $A$ será $A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}$ em que $UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U$ e portanto $A=\sum _{j}\lambda _{j}u_{j}u_{j}^{\mathsf {H}},$
em que $\lambda _{j}$ são os autovalores na diagonal da matriz diagonal $\Lambda .$
O determinante de uma matriz hermitiana é real:
Prova: $\det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}$

Portanto, se $A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.$

(Alternativamente, o determinante é o produto dos autovalores da matriz e, como mencionado anteriormente, os autovalores de uma matriz hermitiana são reais.)

Decomposição em hermitiana e skew-hermitiana

Fatos adicionais relacionados às matrizes hermitianas incluem:

A soma de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada $\left(A+A^{\mathsf {H}}\right)$ é hermetiana.
A diferença de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada $\left(A-A^{\mathsf {H}}\right)$ é skew-hermitiana (também chamada de anti-hermitiana). Isso implica que o comutador de duas matrizes hermitianas é skew-hermitiano.
Uma matriz quadrada arbitrária $C$ pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana $A$ e de uma matriz skew-hermitiana $B$ . Isso é conhecido como a decomposição de Toeplitz de $C$ ^[3] ^{:p. 7}

$C=A+B\quad {\mbox{com}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{e}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)$

Quociente de Rayleigh

Em matemática, para uma dada matriz complexa hermitiana M e um vetor não nulo x, o quociente de Rayleigh^[4] $R(M,x),$ é definido como: ^[3] ^{:p. 234} ^[5]

$R(M,x):={\frac {x^{\mathsf {H}}Mx}{x^{\mathsf {H}}x}}.$

Para matrizes e vetores reais, a condição de ser hermitiana reduz-se à de ser simétrica, e a conjugada transposta $x^{\mathsf {H}}$ à transposição usual $x^{\mathsf {T}}.$ Observe que $R(M,cx)=R(M,x)$ para qualquer escalar real diferente de zero $c.$ Lembre-se também de que uma matriz hermitiana (ou simétrica real) tem autovalores reais.

Pode ser mostrado^[^{carece de fontes?]} que, para uma dada matriz, o quociente de Rayleigh assume o seu valor mínimo $\lambda _{\min }$ (o menor autovalor de M) quando $x$ é $v_{\min }$ (o autovetor correspondente). Similarmente, $R(M,x)\leq \lambda _{\max }$ e $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }.$

O quociente de Rayleigh é usado no teorema min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Também é usado em algoritmos de autovalores para obter uma aproximação de um autovalor a partir de uma aproximação de um autovetor. Especificamente, essa é a base para a iteração de quociente de Rayleigh.

A imagem do quociente de Rayleigh (para uma matriz que não é necessariamente hermitiana) é chamado de imagem numérica (ou espectro em análise funcional). Quando a matriz é hermitiana, a imagem numérica é igual à norma espectral. Ainda em análise funcional, $\lambda _{\max }$ é conhecido como raio espectral. No contexto de C*-álgebras ou de mecânica quântica algébrica, a função que associa $M$ ao quociente de Rayleigh $R (M, x)$ para um $x$ fixo e $M$ variando pela álgebra seria chamada de "estado vetorial" da álgebra.

Ver também

Espaço vetorial
Matriz skew-hermitiana (matriz anti-hermitiana)
Fórmula de aditividade de inércia de Haynsworth
Forma hermitiana
Operador autoadjunto
Matriz unitária

Referências

↑ Frankel, Theodore (2004). The Geometry of Physics: an introduction. Cambridge University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-53927-7
↑ Physics 125 Course Notes at California Institute of Technology
↑ ^a ^b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 9780521839402
↑ Also known as the Rayleigh–Ritz ratio; named after Walther Ritz and Lord Rayleigh.
↑ Parlet B. N. The symmetric eigenvalue problem, SIAM, Classics in Applied Mathematics,1998

Ligações externas

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hermitian matrix», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hermitian matrix», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
Visualizar a matriz hermitiana como uma elipse com o Dr. Geo, de Chao-Kuei Hung da Universidade de Chaoyang, fornece uma explicação mais geométrica.
"Hermitian Matrices" . MathPages.com .

[1] Frankel, Theodore (2004). The Geometry of Physics: an introduction. Cambridge University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-53927-7

[2] Physics 125 Course Notes at California Institute of Technology

[HornJohnson-3] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 9780521839402

[4] Also known as the Rayleigh–Ritz ratio; named after Walther Ritz and Lord Rayleigh.

[5] Parlet B. N. The symmetric eigenvalue problem, SIAM, Classics in Applied Mathematics,1998

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