Subobjeto

Na teoria das categorias, um ramo da matemática, um subobjeto é, grosso modo, um objeto que está dentro de outro objeto da mesma categoria. A noção é uma generalização dos conceitos de subconjunto (da teoria de conjuntos) e subgrupo (da teoria de grupos). Uma vez que a real estrutura dos objetos é irrelevante na teoria de categorias, e não há necessariamente um conceito de "elemento", a definição de subobjeto se baseia em um morfismo que descreve como um objeto se situa dentro de outro.^[1]^[2]

Definição

Seja $C$ uma categoria. Para monomorfismos $u : s \to a$ e $v : t \to a$ em $C$ , de contradomínios iguais, escreve-se $u \leq v$ quando $u = v \circ u'$ para alguma seta $u' : s \to t$ . (Pode-se ver que há no máximo uma seta $u'$ com essa propriedade, e, quando existe, $u'$ é um monomorfismo.) Então, $\leq$ define uma pré-ordem, de modo que

u \equiv v

se e só se

u \leq v

e

v \leq u

define uma relação de equivalência. Um subobjeto de $a$ é uma classe de equivalência (em $\equiv$ ) de monomorfismos de contradomínio $a$ .^[3]^[2]

Exemplos

Na categoria dos conjuntos $Set$ , os subobjetos de $A$ correspondem biunivocamente aos subconjuntos de $A$ . De fatos, dados monomorfismos (isto é, funções injetivas) $u : S \to A$ e $v : T \to A$ , vale que $u \leq v$ se e só se a imagem de $u$ está contida na imagem de $v$ . Cada subconjunto $S \subseteq A$ se associa ao subobjeto que é a classe de equivalência do monomorfismo $S \to A$ dado pela inclusão.^[4]
Similarmente, na categoria dos grupos $Grp$ , os subobjetos correspondem a subgrupos; na categoria dos anéis $Anel$ , os subobjetos correspondem a subanéis; etc.^[4]
Porém, na categoria dos espaços topológicos $Top$ , os subobjetos comuns não correspondem aos subespaços. O motivo é que há monomorfismos (isto é, funções contínuas injetivas) para os quais o domínio tem topologia mais fina do que o contradomínio. Isso pode ser resolvido considerando uma classe menor de subobjetos, como subobjetos regulares.^[5]

Tipos de subobjetos

Por vezes, pode ser útil restringir a atenção a uma classe menor de monomorfismos.

Um monomorfismo $u : s \to a$ é dito ser um monomorfismo regular quando $u$ é equalizador de alguma dupla de morfismos $f, g : a \to b$ .^[6]
Um monomorfismo $u : s \to a$ é dito ser um monomorfismo extremal quando, para quaisquer morfismos $e : s \to s'$ e $f : s' \to a$ tais que $e$ é epimorfismo e $u = f \circ e$ , vale que $e$ é um isomorfismo.^[7]

Desse modo, usando-se as mesmas relações $\leq$ e $\equiv$ , uma subobjeto regular (respectivamente extremal) é uma classe de equivalência de monomorfismos regulares (respectivamente extremais) de mesmos contradomínios.

A seguir, alguns exemplos.

Na categoria $Set$ , todo monomorfismo é regular. Com efeito, um monomorfismo $u : S \to A$ é equalizador da dupla $f, g : A \to {0, 1}$ , onde $f$ é a função constantemente um e $g$ é a função característica da imagem de $u$ . Similarmente, todo monomorfismo em $Set$ é extremal.^[8]^[9]
Na categoria $Top$ , um monomorfismo $u : S \to A$ é extremal se e só se sua correstrição é homeomorfismo $S \to im(u)$ . Com efeito, numa direção, se $u : S \to A$ é monomorfismo extremal, escrevendo-se $u = f \circ e$ , onde $e : S \to im(u)$ é a correstrição de $u$ e onde $f : im(u) \to A$ é a inclusão, como $e$ é sobrejetivo (logo epimorfismo), é um isomorfismo (isto é, homeomorfismo). Na categoria $Top$ , um monomorfismo é regular precisamente quando é extremal. Desse modo, os subobjetos regulares e extremais em $Top$ correspondem precisamente a subespaços.^[8]^[9]
Na categoria de espaços topológicos de Hausdorff $Haus$ , um monomonorfismo $u : S \to A$ é extremal se e só se é regular, se e só se a correstrição de $u$ é homeomorfismo $S \to im(u)$ e $im(u)$ é subespaço fechado de $A$ . Desse modo, os subobjetos regulares e extremais em $Haus$ correspondem precisamente a subespaços fechados.^[9]
Na categoria $Grp$ , todo monomorfismo é regular.^[10]
Na categoria $Anel$ , a inclusão $ℤ \to ℚ$ é um monomorfismo não regular.^[8]

Propriedades

Toda seção é um monomorfismo regular.^[11]
Todo monomorfismo regular é extremal. Mais geralmente, se $f$ é monomorfismo extremal e $g$ é monomorfismo regular, então $g \circ f$ é monomorfismo extremal.^[12]
Todo monomorfismo extremal que é epimorfismo é um isomorfismo.^[13]
Um ínfimo de uma família $(u i : s i \to a) i \in I$ de monomorfismos de mesmo contradomínio é o mesmo que um produto fibrado (pullback) $v : s \to a$ dessa família. (O ínfimo da família dos subobjetos correspondentes também é chamado de interseção.)^[2]

Objeto quociente

Um objeto quociente numa categoria $C$ é um subobjeto na categoria oposta $C op$ .

Expande-se essa definição. Para epimorfismos $p : a \to s$ e $q : a \to t$ , escreve-se $p \leq q$ quando $p = p' \circ q$ para alguma seta $p' : t \to s$ . A relação $\equiv$ é definida como antes, e um objeto quociente é uma classe de equivalência de epimorfismos de mesmo domínio.^[14]

Um epimorfismo $p : a \to s$ é dito ser um epimorfismo regular quando $p$ é coequalizador de alguma dupla $f, g : b \to a$ . Um epimorfismo $p : a \to s$ é dito ser epimorfismo extremal quando, em cada fatoração $p = m \circ f$ na qual $m$ é monomorfismo, vale que $m$ é isomorfismo.^[15]^[16]

Alguns exemplos.

Na categoria $Set$ , objetos quocientes de $A$ correspondem biunivocamente a relações de equivalência em $A$ .^[17]
Na categoria $Grp$ , todo epimorfismo é regular;^[10] também, objetos quocientes de grupo $A$ correspondem biunivocamente a relações de equivalência em $A$ que preservam a operação, isto é, correspondem biunivocamente a subgrupos normais de $A$ .^[17]
Na categoria $Anel$ , objetos quocientes regulares de anel $A$ e objetos quocientes extremais coincidem, e correspondem biunivocamente a ideais de $A$ .^[17]
Na categoria dos espaços compactos de Hausdorff, os objetos quociente de $A$ correspondem biunivocamente a relações de equivalência em $A$ de gráfico sendo subconjunto fechado de $A \times A$ .^[17]

Referências

↑ ADÁMEK 2004, §II.7.77.
↑ ^a ^b ^c MAC LANE 1998, §V.7.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.79.
↑ ^a ^b ADÁMEK 2004, §II.7.81.
↑ ADÁMEK 2004, p. 114.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.56.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.61.
↑ ^a ^b ^c ADÁMEK 2004, §II.7.58.
↑ ^a ^b ^c ADÁMEK 2004, §II.7.64.
↑ ^a ^b TRIMBLE 2020.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.59.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.62.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.66.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.85.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.71.
↑ ADÁMEK 2004, §II.7.74.
↑ ^a ^b ^c ^d ADÁMEK 2004, §II.7.86.

Bibliografia

ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.]
MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8
TRIMBLE, Todd (2020). «monomorphisms in the category of groups». nLab. Consultado em 24 de agosto de 2020

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.77-1] ADÁMEK 2004, §II.7.77.

[FOOTNOTEMAC_LANE1998§V.7-2] MAC LANE 1998, §V.7.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.79-3] ADÁMEK 2004, §II.7.79.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.81-4] ADÁMEK 2004, §II.7.81.

[FOOTNOTEADÁMEK2004114-5] ADÁMEK 2004, p. 114.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.56-6] ADÁMEK 2004, §II.7.56.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.61-7] ADÁMEK 2004, §II.7.61.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.58-8] ADÁMEK 2004, §II.7.58.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.64-9] ADÁMEK 2004, §II.7.64.

[FOOTNOTETRIMBLE2020-10] TRIMBLE 2020.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.59-11] ADÁMEK 2004, §II.7.59.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.62-12] ADÁMEK 2004, §II.7.62.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.66-13] ADÁMEK 2004, §II.7.66.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.85-14] ADÁMEK 2004, §II.7.85.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.71-15] ADÁMEK 2004, §II.7.71.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.74-16] ADÁMEK 2004, §II.7.74.

[FOOTNOTEADÁMEK2004§II.7.86-17] ADÁMEK 2004, §II.7.86.

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